第1章_第5节__二次根式[完整]

1、次根式二次根式必须满足含有二次根号被开方数必须是非负数最简二次根式若二次根式满足被开方数的因数是整数因式是整式被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这样的二次根式叫做最简二次根式化二次根式为最简二次根式的方法和步骤如果被开方数是分数包括小数或分式先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式然后利用分母有理化进行化简如果被开方数是整数或整式先将他们分解因数或因式然后把能开得尽方的因数或因式开出来同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后如果被开方数相同这几个二次根式叫做同类二次根式二次根式的性质二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样先乘方再乘除最后加减有括号的先算
等于二数之积的二次根。共轭因式如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。二次根式的加法和减法同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并ⅵ二次根式的混合运算确定运算顺序灵活运用运算定律正确使用乘法公式大多数分母有理化要及时在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有

2、分值很大）、二次根式式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数。、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。、二次根式的性
等于二数之积的二次根。共轭因式如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。二次根式的加法和减法同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并ⅵ二次根式的混合运算确定运算顺序灵活运用运算定律正确使用乘法公式大多数分母有理化要及时在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化
《二次根式的乘除》教学设计（第课时）一、内容和内容解析．内容二次根式的除法法则及其逆用，最简二次根式的概念。．内容解析二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础．基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式．二、目标和目标解析．教学目标利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；会进行简单的二次根式的除法运算；理解最简二次根式的概念．．目标解析学生能通过运算，类比二次根式的乘法法则，发现并描述二次根式的除法法则。第1章_第5节__二次根式

3、　　共轭因式　　如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。二次根式的加法和减法　　同类二次根式　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同,
就把这几个二次根式叫做同类二次根式。　　合并同类二次根式　　把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。　　二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并ⅵ二次根式的混合运算　　确定运算顺序　　灵活运用运算定律　　正确使用乘法公式　　大多数分母有理化要及时　　在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化
《二次根式的加减⑴》教学设计案例一、教学内容分析本节课是版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册“二次根式”的第课时．本节课讨论的主要对象是二次根式的加减运算．本节的基础是学生已经掌握了把一个二次根式化成最简二次根式的方法，本节的重点是二次根式的加减运算方法，通过本节的学习应使学生熟练进行二次根式的加减运算．本节首先通过一个实际问题引出二次根式的加法运算，使学生感到研究二次根式的加减运算是实际的需要．进行二次根式加减运算的基础是将二次根式化成最简二次根式，之后就可以将被开方数相同的二次根式进行合并合并同类二次根式．二、教学目标分析知识技能会进行二次根式的加减法运算．数学思考学生经历由实际问题引入数学问题的过程。

4、专题二次根式?解读考点知识点二次根式：式子?叫做二次根式．名师点晴二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于二次根式的有关概念最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．≥（≥）；被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．
，则．三、综合提高题．化简．当时，求的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是．．与．与．与．与．互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如与就是互为有理化因式；与也是互为有理化因式．练习：的有理化因式是
二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数。、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。、二次根式的性质、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样。

5、由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算；一条是由二次根式的乘除法则得到，，并运用它们进行二次根式的化简。“二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。第章一元二次方程学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。
???一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：???）将每一个二次根式都化简成最简二次根式???）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组???）合并同类二次根式???二次根式的混合运算???二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、除法、加、减法则的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：???观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的。???在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”。???观察式中二次根式的特点。第1章_第5节__二次根式

6、）；）及其运用．．二次根式乘除法的规定及其运用．．最简二次根式的概念．．二次根式的加减运算．教学难注教及反思．对是一个非负数的理解；对等式）及）的理解及应用．．二次根式的乘法、除法的条件限制．．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需课时，具体分配如下：二次根式课时二次根式的乘法课时二次根式的加减课时教学活动、习题课、小结课时二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念。

7、分式的值不变。分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。、分式的运算法则???????为整数????考点五、二次根式（初中数学基础，分值很大）、二次根式式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数。、最简二次根式若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式。
称为用科学记数法表示这个数．考点二、二次根式、分式的相关概念及性质．二次根式的概念形如??的式子叫做二次根式．．最简二次根式和同类二次根式的概念最简二次根式是指满足下列条件的二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．要点诠释：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式常用的二次根式的有理化因式：?与??互为有理化因式；????????互为有理化因式；
被开方数中不含能开方的因数或因式满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式如????????等都是最简二次根式要点诠释：最简二次根式有两个要求：被开方数不含分母；被开方数中每个因式的指数都小于根指数?同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断如??与??，由于????，??与??显然是同类二次根式知识点二、二次根式的运算?乘除法乘除法法则：类型法则逆用法则积的算术平方根化简公式：二次根式的乘

8、）；）及其运用．．二次根式乘除法的规定及其运用．．最简二次根式的概念．．二次根式的加减运算．教学难点．对是一个非负数的理解；对等式）及）的理解及应用．．二次根式的乘法、除法的条件限制．．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需课时，具体分配如下：二次根式课时二次根式的乘法课时二次根式的加减课时教学活动、习题课、小结课时二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念。
最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。二次根式的性质：（≥）；二次根式的运算：因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．二次根式的乘除法：二次根式相乘（除）。第1章_第5节__二次根式

9、人教版八年级数学下册知识点总结十六章：二次根式二次根式：式子（≥）叫做二次根式。最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母。同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。二次根式的性质：（二次根式的运算：≥）；??（＞）；?（＜）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．二次根式的乘除法：二次根式相乘（除）。
第十六章二次根式教学目标．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算．难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．教学过程设计一、复习．请同学二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化．．在二次根式的化简或计算中。
）；）及其运用．．二次根式乘除法的规定及其运用．．最简二次根式的概念．．二次根式的加减运算．教学难点．对是一个非负数的理解；对等式）及）的理解及应用．．二次根式的乘法、除法的条件限制．．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需课时，具体分配如下：二次根式课时二次根式的乘法课时二次根式的加减课时教学活动、习题课、小结课时二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念。

10、可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如?被开方数??一定是非负数（在分母上时只能为正数）如?????加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式如???【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质．?当时，二次根式??在实数范围内有意义【答案】??≥【解析】根据二次根式的性质，必须??≥?才有意义【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有??时??才是二次根式。
并能熟练地化简含二次根式的式子；．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算．难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．教学过程设计注教及反思一、复习．请同学二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．　　　　指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．　　指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化．．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中。
再把同类二次根式分别合并．二次根式的乘除法二次根式的乘法：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变二次根式的除法：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．分母有理化把分母中的根号化去，叫做分母有理化有理化因式两个含有二次根式代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式．二次根式的混合运算在二次根式运算中，实数运算律、运算性质以及运算性质规定都实用【学习目标】会进行二次根式的四则混合运算会应用整式的运算法则进行二次根式的运算【典型例题】二次根式的四则混合运算【例】计算：；；；【答