线性代数第3章 向量空间无删减

【文章导读】的解，其中常数和向量是待定的。为此，将代入，得到因为，上式变为这就表示，是的解的充要条件是常数和向量满足方程。方程可以看作是向量的个分量的一个齐次线性代数方程组，根据线性代数知识，这个方程组具有非零解的充要条件就是满足方程这就引出下面的定义：假设是一个常数矩阵，

1、的解，其中常数和向量是待定的。为此，将代入，得到因为，上式变为这就表示，是的解的充要条件是常数和向量满足方程。方程可以看作是向量的个分量的一个齐次线性代数方程组，根据线性代数知识，这个方程组具有非零解的充要条件就是满足方程这就引出下面的定义：假设是一个常数矩阵，使得关于的线性代数方程组具有非零解的常数称为的一个特征值。的对应于任一特征值的非零解称为的对应于特征值的特征向量。次多项式称为的特征多项式，次代数方程称为的特征方程，也称它为的特征方程。根据上面的讨论，是的解，当且仅当是的特征值，且是对应于的特征向量。的特征
于是（分），这与已知向量不是方程组的解矛盾。（分）武汉理工大学考试试题纸（第三份卷）课程名称线性代数专业班级全校级本科题号一二三六七八九十总分题分备注学生不得在试题纸上答题含填空题、选择题等客观题一、填空题（每小题分，共分）、已知是行列式的元素的代数余子式，则；、设矩阵，为的伴随矩阵，且，则；、设向量组，，是空间的一组基，要使，，可以构成空间的一组基，则必须满足；、要使实二次型为正定的，则必有的值满足。二、单项选择题（每小题分，共分）、设为阶矩阵，若，则；；；；；、设有齐次线性方

2、培养学生科学的思考问题的习惯和科学的思维方法。其次，在高二阶段学习向量法，但内容不必太多，也不必占用太多的课时。由于向量所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好的分析方法和完整结构。向量的引入可以理解为现代数学与初等数学的衔接的组成部分之一，为初等数学的研究性学习带来了活力，有助于学生体会数与形的关系，认识数学内容之间的内在联系，培养学生建立几何代数关系，体会用代数方法解决几何问题的思想方法，也为学生进入高一级学校学习如空间解析几何、线性空间、微分几何打下了一个基础。本文认为，向量几何的学习应该安排在高一完整的学习综合几何后。一方面，良好的综合几何的基础对对学习向量内容是有帮助的。
矩阵初等变换论文：矩阵初等变换在《线性代数》中的应用摘要：矩阵初等变换在处理线性代数的有关问题时具有一定的独特作用。本文总结了初等变换在求逆矩阵、矩阵的秩、向量组的秩，求解线性方程组，以及标准正交基等问题中的应用。关键词：矩阵初等变换矩阵的逆向量组的秩矩阵初等变换起源于解线性方程组，是研究矩阵的一个非常重要的工具除线性方程组外，还有大量各种各样的问题提出了矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的，表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的这就使得矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要的研究对象。
甚至无从下手，更谈不上学生创新能力的培养。当然在行列式教学中遇到的问题有一部分会随着师生之间的熟悉，对高校学习生活的习惯，绝大部分同学会改进他们的学习状况。但是，关于行列式的认识却因对线性理论的学习滞后而给很多同学带来困扰，部分同学甚至是考完了线性代数还搞不懂各章节与行列式的关系。四、改进行列式的教学如何改进行列式这一部分的教学，牵涉到如何培养学生对线性代数课程的完整正确的认识，只有真正认识到行列式只不过是线性代数的工具才能去寻找核心的概念和理论，确立对线性理论和应用的全面的认识。调整教学内容的编排次序，适当将向量线性相关概念与线性方程组的求解及矩阵的初等变换提前，确立向量线与所对应方程组及矩阵初等变换的的总体目标就是简化矩阵。线性代数第3章 向量空间

3、从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题现在矩阵已成为的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用研究现状在此之前已有很多专家学者涉足此领域研究该问题、孟世才、许耿在《浅谈线性代数中“特征值与特征向量”的引入》中从线性空间中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发引入矩阵的特征值与特征向量的定义郭华、刘小明在《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发。

4、方程组有无穷多组解其通解为，为任意常数分四、证明题证：必要性正定，特征值大于零，存在正交阵，所以，其中，，故正定分充分性正定，故对称且可逆，，所以正定证因为，由为可逆矩阵，可得，所以，分上海交通大学线性代数试卷（卷）姓名学号得分题号一二三四总分得分一单项选择题（每题分，共分）．已知矩阵，，且，则当时，必有秩；当时，必有秩；当时，必有秩；当时，必有秩。．已知为维列向量组，行列式，，则行列式－；；－；设线性空间中向量组线性无关，则的下列生成子空间中。
；但线性无关的特征向量只有一个四证明题为可逆矩阵，又其中为可逆矩阵。因此为正定矩阵，相似于，的特征值与相同，故的特征值都大于零。，实对称，且特征值大于零，所以正定，故的充要条件为；由得，若可逆，，则，矛盾。上海交通大学线性代数试卷卷姓名班级学号题号一二三四总分得分一、单项选择题（每题分，共分）向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是向量组线性无关；对任一个，向量组线性相关；存在一个，向量组线性无关；向量组与向量组等价。设三阶矩阵，已
且线性子空间及其生成生成子空间余子空间交和与直和维数公式生成空间相等的充要条件和为直和的充要条件同构：同构映射性质同构是等价关系数域上两个有限维线性空间同构维数相同同构于数域上的维线性空间三、线性变换是线性代数的中心内容之一线性变换性质及其运算运算及运算律可逆线性变换与逆变换线性变换的值域与核秩与零度值域与核的秩的零度且是双射是单射线性变换与矩阵线性变换在基下的矩阵相似矩阵同一线性变换关于不同基的矩阵是相似的反之若两个矩阵相似则看作是同一线性变换关于两个基的矩阵特征值与特征向量线性变换或矩阵的特征值与特征向量球及其性质。
它们的对偶基分别是及再设，其中因此，即得即定理设及是线性空间的两组基，它们的对偶基分别为及如果由到的过渡矩阵为，那么由到的过渡矩阵为设是上一个线性空间，是其对偶空间，取定中一个向量，定义的一个函数如下：是的对偶空间中的一个元素定理是一个线性空间，是的对偶空间的对偶空间到的映射是一个同构映射与实际上是互为线性函数空间的这就是对偶空间名词的来由任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的黑板讲授例题讲授黑板讲授作业、讨论题、思考题对偶的“对应”参考资料、主要外语词汇：、《高等代数与解析几何》，陈志杰编，北京：

5、陈志杰编，北京：，、《高等代数习题解》，杨子胥编，济南：山东科技，线性空间向量课后小结：《高等代数》课程教案课次学时授课类型理论课授课章、节：第六章线性空间§维数基与坐标教学目的、要求：理解空间的基、坐标与维数的刻划，加深维线性空间的理解教学重点及难点：利用基向量构造线性空间教学基本内容教学方法一、向量的线性相关与线性无关定义设是数域上的一个线性空间，是一组向量是数域中的数，那么向量称为向量组的一个线性组合，有时也说向量可以用向量组线性表出定义设是中两个向量组，如果前者每个向量都可以用后者线性表出，那么称前者可以用后者线性表出如果两者可以互相线性表出。
《线性代数》复习题一单项选择题⒈已知，则⒉行列式中元素的代数余子式为⒊已知则⒋为三阶单位矩阵，则下列错误的是为中的一组基。两两正交。线性无关。⒌若可被线性表示，则下列各式一定成立的有线性无关。线性相关。线性相关。一定是零向量。⒍有个方程组成的元齐次线性方程组仅有零解，则。。。。⒎若向量若，则⒏若，则下列各式不完全正确的是⒐若阶矩阵合同于，则存在阶可逆矩阵使得。有相同的特征值。⒑二次型为正定二次型的充分必要条件是（
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6、性代数考研真题及详解年电子科技大学线性代数考研真题及详解年电子科技大学线性代数考研真题年电子科技大学线性代数考研真题年电子科技大学线性代数考研真题更多考研资料公众号小程序：顺通考试资料年电子科技大学线性代数考研真题年电子科技大学线性代数考研真题年电子科技大学线性代数考研真题年电子科技大学线性代数考研真题及详解年电子科技大学线性代数考研真题及详解年电子科技大
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7、由于种种原因最终没有坚持下来。高等代数与解析几何是高校数学系课程中联系十分密切的两门基础课程他们的关系可以归纳为高等代数为解析几何提供研究方法解析几何为高等代数提供直观的背景。作为高等代数的主要内容线性代数是由二维和三维几何空间的向量代数进一步抽象推广而来的。高等代数的多数概念和方法都有很强的几何背景。比如高等代数的变换理论中的线性变换、正交变换、仿射变换、射影变换等都是直接由几何产生而来的而且高等代数的主要研究对象矩阵矩阵的等价、相似、相合、正交相合等概念都有明显的几何色彩。一个线性变换在选定基底下可以表示为一个矩阵，两个矩阵等价实质上就是同一个线性变换在两组不同基下表示之间
线性代数测试题答案一对；错；对；错；错二；；；；三．各列加到第一列后提取因式将各列全加到第列上后提取公因子得：四解：等式两端右乘有，所以，所以所以五解：当且时，方程组有唯一解；当时，方程组无解；当时，解无穷多通解为（，为任意常数）六取任何值，矩阵的秩都不为；时，，；时，，；，时，，七解：由于相似，＝，解得；当时，解，得特征向量，当时，解，得特征向量，令，则有八证明：设为中任意个线性无关向量，如果向量组中存在向量不能
甚至非线性系统，也在很多情况里面使用线性系统的东西！所以傅里叶变换才这么重要！你看最早傅里叶最早也是为了求解热传导方程（那里其实也可以看做一个线性系统）！傅里叶变换的思想还在不同领域有很多演变，比如在信号处理中的小波变换，它也是采用一组基函数来表达信号，只不过克服了傅里叶变换不能同时做时频分析的问题。最后，我从纯数学的角度说一下傅里叶变化到底是什么。还记得线性代数中的代数方程吗？如果是对称方阵，可以找到矩阵的所有互相正交的特征向量和特征值，然后将向量和表示成特征向量的组合。由于特征向量的正交关系，矩阵的代数方程可以化为个标量代数方程，是不是很神奇！！你会问这跟傅里叶变换有毛关系啊？别急。

8、它的恢复性能优于维纳滤波器。在轻微模糊和适度噪声条件下，对逆滤波器、维纳滤波器进行了对比研究。其结果表明在上述条件下，采用去卷积逆滤波效果较差而维纳滤波器会产生超过人眼所希望的严重的低通滤波效应。提出一种基于线性代数的图像恢复方法。它为恢复滤波器的数值计算提供了一个统一的设计思路。这种方法可以适用于各种退化图像的复原，但是由于涉及到的向量和矩阵尺寸都非常大，因此线性代数方法可能无法给出一种高效的实现算法。对于随空间改变的模糊，一种直接而且有效的恢复方法是坐标变换恢复。其思想就是通过对退化图像进行几何变换，使得到的模糊函数具有空间不变性。然后采用普通的空间不变恢复方法对其进行恢复。
出题专家在编制题目时常常利用这些联系将两部分的线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》是整个线性代数部分的核心内容，相比之下，前两章行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对，可以看作是对第三、四章核心内容的扩展。向量与线性方程组两章的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两章最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。解线性方程组可以看作是这两章内容的出发点和目标。线性代数第3章 向量空间

9、熟练掌握矩阵乘积的行列式及秩的定理。　　、重点、难点重点：矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算及其运算律，初等矩阵与初等变换，矩阵乘积的行列式及秩。难点：矩阵乘积的行列式及秩的定理。、说明：矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是其它科学技术中的重要工具。本章的主要内容是矩阵的运算及其基本性质。以课堂讲授为主，精讲多练，让学生充分掌握矩阵运算的各种方法。五线性空间基本要求掌握线性空间的定义及其简单性质，了解公理化的思想方法。掌握子空间的概念和判别法，理解子空间的交与和，了解直和的判据。掌握线性空间中向量组的线性相关性的概念和性质。熟练掌握有限维线性空间的基与维数的概念及其求法。
（分）、设，即。（分）以左乘该式两边；因为是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，有，又，所以（分）于是有，又线性无关，所以，得。所以线性无关。……（分）武汉理工大学考试试题纸（第四份卷）课程名称线性代数专业班级全校级本科题号一二三六七八九十总分题分备注学生不得在试题纸上答题含填空题、选择题等客观题一、填空题（每小题分，共分）、已知，均为三阶方阵，且，－，则。、设阶方阵的个列向量两两正交且均为单位向量，则＝。、如果三阶方阵相似于对角矩阵，则行列式＝。、设向量组，，，当满足时，向量组可以构成空间的一组基。
郑州大学年线性代数期末考试题（一）题号一二三六七总分分数合分人：复查人：一、（每小题分，共分）分数评卷人）已知点），），），），求四面体的体积。）求过点（，）与平面都平行的直线方程。二、计算（每小题分，共分）分数评卷人），）设为三阶矩阵，，是的第个列向量，计算。三、（共分）求使得方程组分数有解，并求解。（要求用向量形式表示解）四、（共分）分数评卷人设。
因为次代数方程有个根，所以有个特征值，当然不一定个都互不相同。如果是特征方程的单根，则称是简单特征根。如果是特征方程的重根，则称是重特征根。例试求矩阵的特征值和对应的特征向量。解的特征值就是特征方程的根。几、解之得到。对应于特征值的特征向量必须满足线性代数方程组因此，满足方程组所以，对于任意常数是对应于的特征向量。类似地，可以求得对应于的特征向量为其中是任意常数。例试求矩阵的特征值和对应的特征向量。解特征方程为因此，是的二重特征值。为了寻求对应于的特征向量，考虑方程组或者因此，向量是对应于特征值的特征向量，其中是任意常数。一个矩阵最多有个线性无关的特征向量。当然，在任何情况下，最低限度有一个特征向量。