《随机过程》课件chapter 8平稳过程[修改版]【已修改】

【文章导读】对于退势平稳过程,随机冲击只具有有限记忆能力,其影响会很快消失,由其引起的对趋势的偏离只是暂时的,对退势平稳序列,只要正确估计出其确定性趋势,即可实现长期趋势与平稳波动部分的分离,而随机趋势过程虽然也有长期引力线,但其数据生成过程含有单位根

、对于退势平稳过程，随机冲击只具有有限记忆能力，其影响会很快消失，由其引起的对趋势的偏离只是暂时的。对退势平稳序列，只要正确估计出其确定性趋势，即可实现长期趋势与平稳波动部分的分离。而随机趋势过程虽然也有长期‘引力线’，但其数据生成过程含有单位根，随机冲击对它具有持续的长期影响。只有通过差分才能使其平稳，属于差分平稳过程。以下我们重点介绍单位根检验方法。它们的年变化都是十分明显的。因而不能把它们直接作为平稳随机过程。所以这里要就非平稳的随机过程问题谈一下。非平稳随机过程是一类非常广泛的随机过程，因而归结出一般的处理方法也有困难。气温虽然仅是一个例子，但这个例子本身也告诉我们尽管它不是平稳的，但它还是有清楚地冬天低夏天高的特征。

而不是完全杂乱无章。这也就是启示我们首先设法处理那些非平稳部分中仍然有些规律性的类别。我们再引用方程φ对这个一阶的自回归方程现在要由给定的任意一串值反算出一串值来，从而构成一个随机序列。这里设φ，而值是从一个标准化（平均值为零，方差为）的正态分布的随机数字表中任取出来的。在任给一个值以后（例如）用式和一串值就可以算出一串值来。、在横截面数据分析中，推断的是几个随机变量之间的结构关系。正是由此不同，带来了两种分析的不同方法及内容。本节时间序列分析的是所谓平稳随机过程。广泛地说，如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数，并且在任何两时期之间的协方差仅仅依赖于该两时期间的距离，而不依赖于计算这个协方差的实际时间。

就称它是平稳的。更正规的数学表述为：一个随机过程是平稳的，如果对对所有的显而易见，当时，条件当然暗含了方差是时不变的。特别地，具有零均值和相同方差的不相关随机过程称为白噪声（过程）。由于随机过程不相关，故白噪声为纯随机过程。白噪声过程可能不常见，但是，正如我们将要看到的，白噪声过程的加权和却是非白噪声过程的一种很好的表达方式。所以不是广义平稳；分设一个积分电路的输入与输出之间满足关系式：其中为积分时间常数，如输入随机过程是平稳随机过程，且已知其功率谱密度为，求的功率谱和自相关函数解：很显然，是平稳随机过程，故有：分已知零均值的窄带高斯随机过程，其中，且已知的功率谱如图所示，求：自相关函数和；和的一维联合概率密度。

解：因为是零均值的高斯随机过程，因此有：分分所以分因此分因为和都为零均值的高斯随机过程，且在同一时刻是的，所以只要求出其方差，即可得到其一维联合概率密度：分显然有和分所以：分分一数学期望为零的平稳高斯白噪声，功率谱密度为，经过如图所示的系统。用数学式子可以对它表示为’’’τ例如某地月份气压为一个随机过程。从统计上如得出多年平均的日气压与日的气压或任何其他日子的气压都相等，则就满足了式。如果日与日的相关矩和月与日的相关矩相等。而且任意相隔五天的相关矩都相等以及任意相隔天的相关矩的大小仅与有关则就满足了式。这样就说它是广义平稳随机过程。两个平衡随机过程如果它们的互相关函数也仅与时间间隔有关，则说它们是平稳关连的。

我们以后如不另申明，则都是讨论广义平稳随机过程。在实际应用上一个随机过程是否是平稳固然可以用统计方法验证之，但常常多从物理上分析问题性质从而直接判断是否平稳。、是与的均值为、方差为的随机变量。，其中是一已知的均值函数为、相关函数为的二阶均方连续过程。解：即方程的解为：均方解为：（当时）第四章习题解答随机过程，其中具有分布，即其概率密度函数为式中服从区间上的均匀分布，且、相互，试研究是否为平稳过程。解是平稳过程是一平稳过程，且满足，称为周期平稳过程，为其周期，试求的相关函数也是以为周期的周期函数。解：是平稳过程，又以为周期、设是两个相互的实平稳过程，试证明也是平稳过程。解也是平稳过程、设是阶均方 《随机过程》课件chapter 8平稳过程.pptx可微的平稳过程。

证明是平稳过程，且解：利用归纳法可得平稳过程、设是一均值为的平稳时间序列。现将一串数值列于表中。表随机过程的一次取值从表中不难看到如再延长，依式势必使值迅速增加。这简直是一个爆发式的发展。这里显然是一个非平稳随机过程。所以造成值迅猛上升的原因在于我们构成的模型有问题。而其关键在于φ值是大于的。从这里我们看到φ的数值不同就可以构成平稳的或非平稳的随机过程。现在我们就从φ的取值入手分析平稳与非平稳问题。以上举的仅是一阶自回归模型的例子，不过对于高阶的自回归也会有类似结果。就我们见过的各类气象过程来说，尽管很多是非平稳的。但是还没有见过像前面例子那样的爆发性的发展。这一点启示我们，所要研究的一些非平稳气象过程还没有像这个例子那么难以控制。

气象上的过程相比之下还较为温和、均匀。《随机过程》课件平稳过程、第二章单位根过程和单位根检验第一节单位根过程从本章开始我们进入时间序列的非平稳分析和建模研究。前面的章节的内容主要考虑的是平稳时间序列的建模和预测问题，但对于非平稳的时间序列，只有先进行差分处理，将其转换为平稳的时间序列模型。这样会损失部分信息。本章从理论上介绍非平稳时间序列的性质，讨论非平稳时间序列数据建模的伪回归问题。非平稳序列的分析建立在维纳过程（布朗运动）和泛函中心极限定理之上。若干定义定义：白噪声过程（，如图）。属于平稳过程。图是日元兑美元差分序列（收益序列），近似于白噪声序列。随机游走过程（，如图）。属于非平稳过程。随机游走的差分过程是平稳过程（白噪声过因此。

平稳二项随机过程的三要素为：①荷载在内变动次数或变动一次的时间；②在每个时段内荷载出现的频率；③荷载任意时点概率分布。将荷载统一采用平稳二项随机过程来研究的优点是：对各种荷载，其平稳二项随机过程｛≥∈｝在设计基准期内最大值的概率分布函数均可采用任意时点荷载分布函数来描述，这为推导设计基准期最大荷载的概率分布函数和计算组合的最大荷载效应（综合荷载效应）等带来很多方便。荷载统计时是如何处理荷载随机过程的几种常遇荷载各有什么统计特性荷载随机过程的样本函数是十分复杂的，它随荷载的种类不同而异。目前对各类荷载随机过程的样本函数及其性质了解甚少。荷载广义平稳：①均值与无关，为常数②自相关函数只与时间间隔有关严平稳随机过程一定是广义平稳地。

反之则不一定成立平稳过程地自相关函数有哪些性质？它与功率谱密度地关系如何？答：自相关函数性质：——地平均功率——地偶函数——地上界个人收集整理∞——地直流功率∞——为方差，表示平稳过程地交流功率平稳过程地功率谱密度与其自相关函数是一对傅里叶变换关系：什么是高斯过程？其主要性质有哪些？答：如果随机过程地任意维分布服从正态分布，则成为高斯过程性质：高斯过程地维分布只依赖于均值，方差和归一化协方差广义平稳地高斯过程是严平稳地如果高斯过程在不同时刻地取值是不相关地。、利用分解引理，可将泛函中心极限定理推广到一般的单位根过程。一般形式的泛函中心极限定理设序列：为一平稳过程，它有无穷阶表示形式：其系数满足 《随机过程》课件chapter 8平稳过程.pptx条件：同分布。

且满足为闭区间上的任一实数，记，构造如下统计量：那么，当时，统计量有如下极限：根据该定理，可以得到有关单位根过程的极限分布。、有关单位根过程的极限分布假设序列遵从单位根过程：其中平稳过程满足一般形式泛函中心极限定理中的条件。令若，那么，下列极限成立：；；；；；上述结论的证明较为繁琐，在此从略。．时间序列的去势问题图随机趋势非平稳序列图随机趋势非平稳序列随机趋势非平稳过程可以说，白噪声是组成随机过程的“最小单位”，是对随机过程可能达到的最佳认识，如果除了白噪声的随机性质外，随机过程的其它结构都得到描述，则可以认为对该过程有了完全的描述。平稳性是一个很重要的特性，因为它保证了随机过程基本上没有结构变动。

这种结构变动将使预测遇到困难或不可能。．时间序列数据的模型时间序列数据背后的随机过程，也就是生成这些数据的数据生成过程。对于平稳性随机过程的描述，可建立多种形式的时序模型。这些模型刻划了时序变量的路径。自回归模型若时间序列为它的前期值和随机项的线性函数，可以表示为：则称该时间序列为自回归序列，该模型为阶自回归模型，记为）。参数为自回归参数，是模型的待估参数。、相位服从均匀分布，且在同一时刻其包络和相位是互相的随机变量。实平稳随机过程的自相关函数是偶（奇、偶、非奇非偶）函数。设是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为，且为一偶函数，则低频过程是正交。得分二、计算题（共分）分两随机变量和的联合概率密度函数为。

是常数，其中。求：特征函数；试讨论随机变量和是否统计。解：因为联合概率密度函数需要满足归一性，即（分）所以（分）的边缘概率密度函数：（分）所以特征函数容易得则有（分）因此和是统计。（分）分设随机过程，其中在均匀分布，求：求均值和自相关函数；判断是否广义平稳；解：因为和均随时间变化。《随机过程》课件平稳过程、浅谈随机水文学的应用级水利与环境学院水文与水资源工程吴承君摘要：自然现象按性质可划分为确定性的现象和纯随机性的现象，以及处于前两者之间的即部分确定性部分随机性的现象。其中，研究纯随机水文过程的学科称为统计水文学或水文统计学。随机水文学的出现，填补了确定性水文学与统计水文学之间的空隙。水文现象实际上是多个随机变量的问题是个随机过程的问题如一条洪水过程线降雨的逐日过程等、近二十年来发展起来的随机水文学或水文随机数学模型就是以随机过程为基础来解决与处理水文预报或水文计算问题的一门新学科。