线性代数第3章 向量空间终稿

【文章导读】第三章向量空间欧氏空间向量组的秩一个元向量组的线性相关性向量及其线性组合向量空间向量及其线性组合三维空间的向量有向线段。建立标准直角坐标系后，它由一点或一个三元数组唯一确定。我们还定义了向量的加法即平行四边形法则和向量的数乘两种运算。建立坐标系的目的就是把向量的

第三章,向量空间Rn,3.5欧氏空间Rn,3.3向量组的秩,3.2一个n元向量组的线性相关性,3.1向量及其线性组合,3.4向量空间,2,3.1向量及其线性组合,三维空间的向量:有向线段。,建立标准直角坐标系后，,它由一点P或一个三元数组(x,y,z)唯一确定。,我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数乘两种运算。,3,建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标)的运算.,由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广(把几何向量代数化)。直接把n元的数组叫做(代数中的)向量，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量坐标的运算。,4,定义,n个数组成的有序数组,称为一个n维行向量或n维列向量,其中称为该行(列)向量的第i个分量。

行向量与列向量统称为向量.分量全是实数(复数)的向量称为实(复)向量,n维实(复)向量的全体记为.以后如无特殊说明,向量均指实向量.约定:所书写的向量如无特殊说明均指列向量,而行向量用列向量的转置表示.向量的加法运算和数乘运算同矩阵的这两种运算一样.,或,5,由若干个同维数的列(行)向量组成的集合称为一个向量组.如无特殊说明,向量组总是指含有限个向量的向量组.,例如:mn的矩阵A全体列向量是含n个m维列向量的向量组,简称A的列组;全体行向量是含m个n维的行向量组,简称A的行组.,再如:解的全体是一个含无穷多个n维列向量的向量组.,定义,6,观察如图三维空间中的向量,必有,再观察下面方程组增广矩

有如下关系,这说明第(4)和第(5)个方程都是多余的,可以去掉.,7,向量是矩阵的特例，向量的相等、加、减、数乘运算对应于矩阵的相应运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。,在Rn中的向量满足以下8条规律：,其中a、b、g都是n维向量，k、l为实数。,向量的线性运算,8,解,，求,使,9,对于向量组,表达式,则称向量可由向量组A线性表示.,通常写成,称为向量组A的一个线性组合.又如果是向量组A的一个线性组合,即存在数使,向量的线性表示,10,1零向量可由任一组向量线性表示。,中每个向量都可由向量组本身,2向量组,线性表示，,注意,3任一n元向量,都可由n元单位向量组,线性表示，即,11。

n元线性方程组,可以用向量形式表示为,(1),其中,对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为,,，，,线性方程组的向量表示,12,向量可由向量组线性表示,存在数使,另外,如果解唯一,则表示方法是唯一的.如果,(按定义),(转换为方程组),(用矩阵的秩),方程组,13,解,记,不能由A线性表示;能由A唯一表示;能由A有无穷多种表示,并求所有表示方法.,设向量组A:,具体解方程组过程略。,时,方程组无解,不能由A表示.,时,方程组有唯一解,可由A唯一表示.,14,时,方程组有无穷多解,可由A无穷多种表示.,通解为,所有表示方法:,其中k为任意实数.,即,第三章,3.5欧氏空间,3.3向量组的秩,3.

2一个n元向量组的线性相关性,3.1向量及其线性组合,3.4向量空间,向量空间Rn,16,3.2一个n元向量组的线性相关性,看看三维空间中的向量(如图),这三个向量任何一个都不能由其它两个,向量线性表示,说明它们是异面的.,这三个向量在一个平面内(共面).,17,我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推广,并换一种叫法.,定义,线性相关与线性表示之间的关系,18,等价定义,则称该向量组线性相关.否则,如果设,如何用数学式子表达,以便理论推导向量组的相关性?,定义1,19,存在不全为零的数使,(按定义),(转化为方程组),齐次方程组,(用矩阵的秩),把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关。

否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。,证明向量组线性相关性的基本方法,（向量方程）,20,线性相关.,线性无关.,例1,21,例2,设向量可由线性无关的向量组,线性表示,证明表法是唯一的.,证设有两种表示方法,由线性无关,22,证明向量组线性无关.,证,(1)式成为,(2),(2)式左乘,同理推出,例3,23,(参见P99101),(1)“部分相关,则整体相关.等价地”,观察知相关,从而相关.,相关.,书P98例2,24,(2)“个数大于维数必相关”,A的列组是4个3维向量,必相关.,P101推论1,如：,25,则可由A唯一表示.,这由,有唯一解.,为以后引用方便,给它起个名子叫唯一表示定理。

P99定理3.2.2,26,写成矩阵乘积:,从而,(4)向量组B可由向量组A表示,则,(后者的A,B是矩阵),存在矩阵C使得B=AC,为以后引用方便,给它起个名子叫表示不等式.,也体现在P108性质3,27,(5)如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示,则必相关（Steinitz定理）.,表示,又mn,由表示不等式,从而B必相关.,P107引理1,28,(6)“短的无关,则长的也无关.等价地”,是无关的.,也是无关的.,P101推论3,再如：,29,(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）,P101推论2,由它构成的n阶矩阵的行列式,t取何值时,下列向量组线性相关?,解,记,当t=5时。

上面向量组线性相关.,例4,30,A,B为非零矩阵且AB=O,则,(A)A的列组线性相关,B的行组线性相关(B)A的列组线性相关,B的列组线性相关(C)A的行组线性相关,B的行组线性相关(D)A的行组线性相关,B的列组线性相关,设说明Ax=0或AX=O有非零解,故r(A)<n,从而A的列组相关;考虑转置,同样的道理,矩阵列组即B的行组相关.,另,r(A)+r(B)n,r(A)0,r(B)0,得r(A)<n和r(B)<n,从而A的列组线性相关,B的行组线性相关.,例5,解,31,设线性无关,问满足什么条件,分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题,就是矩阵乘法的关系。P104,

则,例6,32,设,(要讨论上面方程组何时有非零解),(由),33,线性相关,34,另证:,由于是列满秩矩阵,故,35,例7,重要结论,设向量组能由向量组,线性表示为,且A组线性无关。证明B组线性无关的充要条件是,证法一(适用于一般的线性空间)设,36,上面方程组只有零解,即,由线性无关,上式成立的充要条件是,37,证法二,由线性无关,38,证明：,例8,第三章,向量组的线性相关性,3.5欧氏空间,3.3向量组的秩,3.2一个n元向量组的线性相关性,3.1向量及其线性组合,3.4向量空间,40,3.3向量组的秩,对于给定的向量组(可以含无穷多向量),如何把握向量之间的线性关系?(即哪些向量可由另外一些向量线性表示)。

它们的本质不变量是什么？,希望:在一个向量组中能找到个数最少的一些向量,而其余的向量都可由这些向量线性表示.,由P102例7，我们来研究向量组之间的关系,41,如果向量组中的每个向量都可由向量组线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示。,有解,(改写为矩阵),(转换为矩阵方程),(用矩阵的秩),设B由A表示如下：,定义1,向量组的等价,42,如果向量组与向量组可以相互表示,则称这两个向量组等价.,向量组A与向量组B等价,向量组的等价关系是不是等价关系?矩阵的等价与矩阵的行、列向量组等价有何关系？,(用矩阵的秩),设矩阵A经过有限次初等行（列）,变换为B，则A，B的行（列）向量组等价。,43,

在中,能表示所有的3维向量,而且个数是最少的.因为,如果有也能表示所有的向量,那么也能表示,这与线性无关矛盾(Steinitz).,这样就可以作为的坐标系.,极大无关组，向量组的秩,44,假设向量组A的部分组A0是所找的,即A0是A中所含向量个数最少的又能表示A中所有向量的向量组.首先A0要是线性无关的.否则,A0中至少有一个向量可由其余的向量表示,说明A0中向量个数不是最少的;其次A0中无关向量个数还要是最多的.否则,如果还有无关的部分组B0所含向量个数比A0多,那么因B0可由A0表示,B0必相关,这就矛盾了.我们把A中满足上面两个条件的向量组叫做A的一个最大无关组，容易证明(稍后)最大无关组一定可以表示A中所有向量且表法是唯一的。

45,(1)线性无关,(2)A中任意r+1个向量(如果有的话)都线性相关.,定义2,如果在向量组A中找到r个向量满足,则称向量组A0是向量组A的一个最大无关组.,(2)A中任一向量都可由A0表示.,定义,(1)线性无关,如果在向量组A中找到r个向量满足,则称向量组A0是向量组A的一个最大无关组.,P106,P107,46,向量组A的最大无关组所含向量的个数r(显然是唯一的)称为向量组A的秩.仍记为r(A).只含零向量的向量组无最大无关组,规定其秩为0.,定义3,47,求向量组,的一个最大无关组和该向量组的秩.,同理,等也是最大无关组.,易求得,说明A中有一个2阶子式不为零.如取前两列前两行:,那么,从而线性无关。

再看A的任意三列,因为,所以任意三列都是线性相关的.根据定义就是一个最大无关组,48,阅读极大无关组秩的基本性质P107108，回答(以下向量组可无限),(1)最大无关组所含向量个数不会超过多少？最大无关组一定存在吗？(2)最大无关组唯一吗?它含向量个数唯一吗？(3)如果向量组的秩为r,则其任一r个线性无关的向量都是其最大无关组吗?(4)向量组与其任一最大无关组等价吗?(5)向量组的任意两个最大无关组等价吗?(6)等价向量组的秩相等吗?(7)相互等价的向量组中所含向量个数最少的是哪个向量组？,49,极大无关组的求法,求向量组,的一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组表出.,接例1,已求得一个最大无关组为。

要求用表出,这相当于要解方程组,50,51,求向量,一个最大无关组,并把其余,向量用该最大无关组表出.,矩阵的秩=?,线性无关吗?,是最大无关组吗?,阅读书P109例3,52,53,是右边的最大无关组,是左边的最大无关组,总结,矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系。,引理2,54,注:以前我们把向量组与它们排成矩阵的符号混用，而且把它们的秩的符号也混用正是由于三秩相等这个原因。但对于无限向量组符号就不能混用了。,向量组的秩与矩阵秩的关系,三秩相等定理(P109),第三章,向量组的线性相关性,3.5欧氏空间,3.3向量组的秩,3.2一个n元向量组的线性相关性,3.1向量及其线性组合,3.4向量空间。

56,我们用线性状态空间叙述问题，主要的数学工具是抽象形式的线性代数。基本的思想是把熟悉的能控性和能观性这些系统概念作为不同的状态子空间的几何性质。旺纳姆“线性多变量控制一种几何方法”序,57,3.4向量空间,集合对于加法及乘数两种运算封闭指,58,证明下列集合是向量空间,证,所以构成了向量空间.,59,证(以前证过),证明齐次方程组的解集,是一个向量空间.以后称为齐次方程组的解空间.,60,证明非齐次方程组的解集,不是向量空间.,证,设,而,S对加法运算不封闭.,或,S对数乘运算不封闭.,61,是向量空间.,证,62,定义,设是一向量组,称,为由该向量组生成的(或张成的)向量空间.记为,特别地。