线性代数第四章第五节《向量空间》课件勘正审核版

2022-09-17 00:04:30本页面

【文章导读】向量空间封闭的概念定义:所谓封闭,是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合例:试讨论下列数集对四则运算是否封闭?整数集有理数集实数集向量空间的概念定义:设是维向量的集合,如果集合非空,集合对于向量的加法和乘数两种运算封闭,具体地说,就是:若,则(对

线性代数第四章第五节《向量空间》课件勘正审核版


【正文】

向量空间封闭的概念定义:所谓封闭,是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合例:试讨论下列数集对四则运算是否封闭?整数集有理数集实数集向量空间的概念定义:设是维向量的集合,如果集合非空,集合对于向量的加法和乘数两种运算封闭,具体地说,就是:若,,则(对加法封闭)若,,则(对乘数封闭)那么就称集合为向量空间例:下列哪些向量组构成向量空间?维向量的全体集合集合齐次线性方程组的解集非齐次线性方程组的解集解:集合,,是向量空间,集合,不是向量空间定义:齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间例:设为两个已知的维向量,集合是一个向量空间吗?解:设,,因为所以,是一个向量空间定义:把集合称为由向量所生成的向量空间一般地。

把集合称为由向量所生成的向量空间例:设向量组和等价,记,,试证结论:等价的向量组所生成的空间相等则问题:返回子空间的概念定义:如果向量空间的非空子集合对于中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的,则称是的子空间例:维向量的全体集合集合解:是的子空间,不是的子空间向量空间的基的概念定义:设有向量空间,如果在中能选出个向量,满足线性无关;中任意一个向量都能由线性表示;那么称向量组是向量空间的一个基称为向量空间的维数,并称为维向量空间向量空间向量空间的基向量空间的维数向量组向量组的最大无关组向量组的秩维向量的全体解:的列向量组是的一个基,故的维数等于集合解:的后个列向量是的一个基,故的维数等于元齐次线性

故的维数等于维向量的全体解:的列向量组是的一个基,故的维数等于集合解:的后个列向量是的一个基,故的维数等于结论:若是的子空间,则的维数不超过的维数元齐次线性方程组的解集解:齐次线性方程组的基础解系是的一个基,故的维数等于由所生成的向量空间若线性无关,则是向量空间的一个基若线性相关,则向量组:等价于向量组的最大无关组:从而故向量组就是的一个基,中向量的个数就是的维数由所生成的向量空间解:向量组:等价于向量组的最大无关组:故向量组就是的一个基,中向量的个数就是的维数一般来说,若,则是的子空间若向量组是向量空间的一个基,那么向量组等价于相应的最大无关组所以从而就是的一个基,的维数等于结论:等价的向量组所生成的空间相等定义:如果在向量空间中取定一个基。

那么中任意一个向量可唯一表示为数组称为向量在基中的坐标例:的列向量组是的一个基,那么在基中的坐标阶单位矩阵的列向量叫做维单位坐标向量阶单位矩阵的列向量组称为的自然基上三角形矩阵的列向量组也是的一个基,那么结论:同一个向量在不同基中的坐标是不同的例:设验证是的一个基,并求在这个基中的坐标分析:是的一个基在这个基中的坐标用表示当时,的列向量组与的列向量组有相同的线 (例)为此,考虑把化为行最简形矩阵解:于是例:设验证是的一个基,并求在这个基中的坐标例:在中取定一个基,再取一个新基,设,求用表示的表示式(基变换公式);求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式)分析:求解矩阵方程设,且,求解矩

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