线性代数第四章第二节《向量组的线性相关性》课件_三九文库

2022-09-03
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【文章导读】2 向量组的线性相关性回顾:向量组的线性组合定义:给定向量组 A:a1, a2, , am , 对于任何一组实数 k1, k2, , km ,表达式k1a1 k2a2 kmam称为向量组 A 的一个线性组合k1, k2, , km 称为这个

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【正文】2 向量组的线性相关性回顾:向量组的线性组合定义:给定向量组 A:a1, a2, , am , 对于任何一组实数 k1, k2, , km ,表达式k1a1 + k2a2 + + kmam称为向量组 A 的一个线性组合k1, k2, , km 称为这个线性组合的系数定义:给定向量组 A:a1, a2, , am 和向量 b,如果存在一组实数 l1, l2, , lm ,使得b = l1a1 + l2a2 + + lmam则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示引言问题1:给定向量组 A,零向量是否可以由向量组 A 线性表 示?问题2:如果零向量可以由向量组 A 线性表示,线性组合的 系数是否不全为零?向量b 能由向量组 A线性表示线性方程组 Ax = b 有解P.83 定理1 的结论:问题1:给定向量组 A,零向量是否可以由向量组 A 线性表示?问题1:齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解?回答:齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解事实上,可令k1 = k2 = = km =0 ,则k1a1 + k2a2 + + kmam =0(零向量)问题2:如果零向量可以由向量组 A 线性表示,线性组合的系数 是否不全为零?问题2:齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在非零解?回答:齐次线性方程组不一定有非零解,从而线性组合的系数 不一定全等于零例:设若则 k1 = k2 = k3 =0 向量组的线性相关性定义:给定向量组 A:a1, a2, , am ,如果存在不全为零的实数 k1, k2, , km ,使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0(零向量)则称向量组 A 是线性相关的,否则称它是线性无关的向量组A:a1, a2, , am线性相关m 元齐次线性方程组Ax = 0有非零解R(A) m备注:p 给定向量组 A,不是线性相关,就是线性无关,两者必居其一p 向量组 A:a1, a2, , am 线性相关,通常是指 m 2 的情形.p 若向量组只包含一个向量:当 a 是零向量时,线性相关;当 a 不是零向量时,线性无关p 向量组 A:a1, a2, , am (m 2) 线性相关,也就是向量组 A 中,至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示特别地,a1, a2 线性相关当且仅当 a1, a2 的分量对应成比例,其几何意义是两向量共线a1, a2, a3 线性相关的几何意义是三个向量共面向量组线性相关性的判定(重点、难点)向量组 A:a1, a2, , am 线性相关存在不全为零的实数 k1, k2, , km ,使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0(零向量) m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数 m 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示向量组线性无关性的判定(重点、难点)向量组 A:a1, a2, , am 线性无关如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0(零向量),则必有k1 = k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数 m 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线性表示向量组线性相关性的判定(重点、难点)向量组 A:a1, a2, , am 线性相关存在不全为零的实数 k1, k2, , km ,使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0(零向量) m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的个数 m 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示向量组线性无关性的判定(重点、难点)向量组 A:a1, a2, , am 线性无关如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0(零向量),则必有k1 = k2 = = km =0 m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解矩阵A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的个数 m 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线性表示例:试讨论 n 维单位坐标向量组的线性相关性例:已知试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性解:可见 R(a1, a2, a3 ) = 2,故向量组 a1, a2, a3 线性相关;同时,R(a1, a2 ) = 2,故向量组 a1, a2 线性无关例:已知向量组 a1, a2, a3 线性无关,且b1 = a1+a2, b2 = a2+a3, b3 = a3+a1,试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关解题思路:转化为齐次线性方程组的问题;转化为矩阵的秩的问题例:已知向量组 a1, a2, a3 线性无关,且b1 = a1+a2, b2 = a2+a3, b3 = a3+a1,试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关解法1:转化为齐次线性方程组的问题已知 ,记作 B = AK 设 Bx = 0 ,则(AK)x = A(Kx) = 0 因为向量组 a1, a2, a3 线性无关,所以Kx = 0 又 |K| = 2 0,那么Kx = 0 只有零解 x = 0 ,从而向量组 b1, b2, b3 线性无关例:已知向量组 a1, a2, a3 线性无关,且b1 = a1+a2, b2 = a2+a3, b3 = a3+a1,试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关解法2:转化为矩阵的秩的问题已知 ,记作 B = AK 因为|K| = 2 0,所以K 可逆,R(A) = R(B),又向量组 a1, a2, a3 线性无关, R(A) = 3,从而R(B) = 3,向量组 b1, b2, b3 线性无关定理(P.89定理5) l若向量组 A :a1, a2, , am 线性相关, 则向量组 B :a1, a2, , am, am+1 也线性相关其逆否命题也成立,即若向量组 B 线性无关,则向量组 A 也线性无关lm 个 n 维向量组成的向量组,当维数 n 小于向量个数 m 时,一定线性相关特别地, n + 1个 n 维向量一定线性相关l设向量组 A :a1, a2, , am 线性无关, 而向量组 B :a1, a2, , am, b 线性相关,则向量 b 必能由向量组 A 线性表示,且表示式是唯一的

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