线性代数 向量组的线性组合最新版

2022-04-16 20:25:48本页面

【文章导读】第二节向量组的线性组合分布图示分布图示n维向量的概念向量组与矩阵向量的线性运算例1例2线性方程组的向量形式向量组的线性组合例3例4例5定理1例68例9向量组间的线性表示内容小结课堂练习习题32内容要点内容要点一、一、n维向量及其线性运算维向量及其线性运算定义定义

线性代数 向量组的线性组合最新版


【正文】

第二节向量组的线性组合分布图示分布图示n维向量的概念向量组与矩阵向量的线性运算例1例2线性方程组的向量形式向量组的线性组合例3例4例5定理1例68例9向量组间的线性表示内容小结课堂练习习题32内容要点内容要点一、一、n维向量及其线性运算维向量及其线性运算定义定义11n个有次序的数a1,a2,an所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数ai称为第i个分量.注注:在解析几何中,我们把“既有大小又有方向的量”称为向量,并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象.引入坐标系后,又定义了向量的坐标表示式(三个有次序实数),此即上面定义的3维向量.因此,当n3时,n维向量可以把有向线段作为其几何形象。

当n3时,n维向量没有直观的几何形象.若干个同维数的列向量(或行向量)所组成的集合称为向量组.例如,一个mn矩阵a11a12a1naaa21222nAam1am2amn每一列a1ja2jj(j1,2,n)amj组成的向量组1,2,n称为矩阵A的列向量组,而由矩阵A的的每一行i(ai1,ai2,ain)(i1,2,m)组成的向量组1,2,m称为矩阵A的行向量组.根据上述讨论,矩阵A记为12A(1,2,n)或A.n这样,矩阵A就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组.而线性方程组AmnX0的全体解当r(A)n时是一个含有无限多个n维列向量的向量组。

定义定义22两个n维向量(a1,a2,an)与(b1,b2,bn)的各对应分量之和组成的向量,称为向量与的和,记为,即(a1b1,a2b2,anbn)由加法和负向量的定义,可定义向量的减法:()(a1b1,a2b2,anbn).定义定义33n维向量(a1,a2,an)的各个分量都乘以实数k所组成的向量,称为数k与向量的乘积(又简称为数乘),记为k,即k(ka1,ka2,kan).向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算.注注:向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同,从而也满足下列运算规律:(1);(2)()();(3)o;(4)()o;(5)1;(6)k(l)(kl);(7)k()kk。

(8)(kl)kl.二、向量组的线性组合二、向量组的线性组合考察线性方程组a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nxnb2(1)am1x1am2x2amnxnbma1jb1a2jb2令j(j1,2,n),bammj则线性方程组(1)可表为如下向量形式:1x12x2nxn(2)于是,线性方程组(1)是否有解,就相当于是否存在一组数k1,k2,kn使得下列线式成立:k11k22knn.定义定义44给定向量组A:1,2,s,对于任何一组实数k1,k2,ks,表达式k11k22kss称为向量组A的一个线性组合,k1,k2,ks称为这个线性组合的系数.定义定义55给定向量组A:1,2,s和向量,若存在一组数k1,k2,ks,使k11k22kss,则称向量是向量组A的线性组合,又称向量能由向量组A线性表示线性表示(或线性表出线性表出)。

注注:(1)能由向量组1,2,s唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组1x12x2sxs有唯一解;(2)能由向量组1,2,s线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组1x12x2sxs有无穷多个解;(3)不能由向量组1,2,s线性表示的充分必要条件是线性方程组1x12x2sxs无解;定理定理11设向量a1jb1a2jb2,j(j1,2,s),bammj能由向量组1,2,s线性表示的充分必要条件是矩阵A(1,2,s)与矩则向量阵A(1,2,s,)的秩相等.三、向量组间的线性表示三、向量组间的线性表示定义定义66设有两向量组A:1,2,s;B:1,2,t,若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示。

则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价.按定义,若向量组B能由向量组A线性表示,则存在k1j,k2j,ksj(j1,2,t)使k1jk2jjk1j1k2j2ksjs(1,2,s),ksj所以k11k21(1,2,t)(1,2,s)ks1k12k22ks2k1tk2t,kst其中矩阵Kst(kij)st称为这一线性表示的系数矩阵.引理引理若CsnAstBtn,则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示,B为这一表示的系数矩阵.而矩阵C的行向量组能由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵.定理定理22若向量组A可由向量组B线性表示,向量组B可由向量组C线性表示。

则向量组A可由向量组C线性表示.例题选讲例题选讲n维向量及其线性运算维向量及其线性运算例例11设1(2,4,1,1),2(3,1,2,5/2),如果向量满足312(2)0,求.解解由题设条件,有312220TT133(2231)21(3,1,2,5/2)T(2,4,1,1)T(6,5,1/2,1)T.222例例2(E01)2(E01)设(2,0,1,3)T,(1,7,4,2)T,(0,1,0,1)T.(1)求23;(2)若有x,满足352x0,求x.解解(1)232(2,0,1,3)T(1,7,4,2)T3(0,1,0,1)T(5,4,2,1)T.(2)由352x0,得11x(35)3(2,0,1,3)T(1,7,4,2)T5(0,1,0,1)T(5/2,1,7/2,8)T。

22例例33设1(1,0,2,1),2(3,0,4,1),(1,0,0,3).由于212,因此是1,2的线性组合.例例44证明:向量(1,1,5)是向量1(1,2,3),2(0,1,4),3(2,3,6)的线性组合并具体将用1,2,3表示出来.证证先假定112233,其中1,2,3为待定常数,则(1,1,5)1(1,2,3)2(0,1,4)3(2,3,6)(1,21,31)(0,2,42)(23,33,63)(1,21,31)(0,2,42)(23,33,63)由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等,因此可得方程组:123121233134652311122.13于是可以表示为1,

2,3的线性组合,它的表示式为1223.例例55证明:向量(4,5,5)可以用多种方式表示成向量(1,2,3),(1,1,4)及(3,3,2)的线性组合.证证假定1,2,3是数,它们使(4,5,5)1(1,2,3)2(1,1,4)3(3,3,2)(1,21,31)(2,2,42)(33,33,23)(1233,21233,314223),这样便可得到一个线性方程组:12334212335.(2)3425231这个方程组的解不是唯一的,例如以下二组数都是方程组(2)的解:11,20,31;13,21,30.因此(4,5,5)(1,2,3)(3,3,2);(4,5,5)3(1,2,3)(1,1,4)。

即向量(4,5,5)可以用不止一种方式表示成另外3个向量的线性组合.注注:本例表明,判断一个向量是否可用多种形式由其它向量组线性表出的问题也可以归结为某一个线性方程组解的个数问题.解唯一,表示方式也唯一.解越多,表示方式也越多.这说明线性方程组的解同向量线之间的紧密联系..向量组的线性组合向量组的线性组合例例6(E02)6(E02)任何一个n维向量(a1,a2,an)T都是n维向量单位组1(1,0,0)T,2(0,1,0,0)T,n(0,0,0,1)T的线性组合.因为a11a22ann.例例7(E03)7(E03)零向量是任何一组向量的线性组合.因为o01020s.例例8(E04)8(E04)向量组1。

2,s中的任一向量j(1js)都是此向量组的线性组合.因为j011j0s.例例9(E05)9(E05)判断向量(4,3,1,11)T是否各为向量组1(1,2,1,5)T,2(2,1,1,1)T的线性组合.若是,写出表示式.解解设k11k22,对矩阵(141221311151112)施以初等行变换:412213111511141221311151114122131115111易见,秩(12)秩(1,2)2.故可由1,2线性表示,且由上面的初等变换可取k12,k21使212.课堂练习课堂练习下列向量组中,向量能否由其余向量线性表示?若能,写出线性表示式:1(3,3,2)T,2(2,1,2)T,3(1。

2,1)T,(4,5,6)T.

线性代数 向量组的线性组合

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