《线性代数》单元自测题珍藏版本

【文章导读】《线性代数》基础习题第一章行列式一、填空题：．设是五阶行列式中带有负号的项，则，。．在四阶行列式中，带正号且同时包含因子和的项为。．在五阶行列式中，项的符号应取。．已知，则中的系数为。．行列式。二、计算下列各题：．计算。．设，求的值。．计算．计算．计算．计算．设

《线性代数》基础习题 第一章行列式 一、填空题： 1．设是五阶行列式中带有负号的项，则=，=。 2．在四阶行列式中，带正号且同时包含因子和的项为。 3．在五阶行列式中，项的符号应取。 4．已知，则中的系数为。 5．行列式。 二、计算下列各题： 1．计算。 2．设，求的值。 3．计算 4．计算 5．计算 6．计算 7．设齐次线性方程组有非零解，求的值。 第二章矩阵 一、填空题： 1．设A,则R(A)=。 2．设是3阶方阵，且，则=。 3．。 4．设为矩阵，，把按列分块为，其中为的第列，则。 5．设为3阶方阵，，按列分块为，，则=。 二、选择题： 1．设A。

B为n阶方阵，则下列命题中正确的是（）。 A.或；　　B.； C.　；　D.。 2.设A为矩阵,则A的秩最大为()。 A.2B.3 C.4D.5 3.是阶矩阵，且，则必有（）。 A．B. C．D. 4.当（）时，. A．B. C.D. 三、计算题 1．设A=，求。 2．设，且，求。 3．设是阶对称矩阵，是阶反对称矩阵，证明为反对称矩阵的充分必要条件是。 4．设为3阶方阵，且，求。 5．已知矩阵的秩为3，求的值。 四、设为阶方阵，且有，证明可逆，并求其逆。 第三章向量空间 一、填空题： 1．已知，，，且向量满足，则=。 2．向量组,线性。（要求填写“相关”或“无关”） 3．已知向量组。

的秩为2，则。 4．若，，线性相关，则应满足关系式。 5.设，且，已知与线性相关，则。 二、选择题： 1．下列向量组中，线性无关的是（　） （A），，；　 （B），，； （C），，； （D），，，． 2．下列向量组中，线性相关的是（　） （A），； （B）； （C），，； （D），，． 3．设向量组，，线性无关，则（　） （A）；（B）；（C）；　（D）． 4.设均为维向量，那么下列结论正确的是（）。 （A）若，则线性相关； （B）若对任意一组不全为零的数，都有，则线性无关； （C）若线性相关，则对任意一组不全为零的数，都有； （D）若，则线性无关. 5。

设是阶方阵，且的行列式，则中（） （A）必有一列元素全为零；（B）必有两列元素对应成比例； (C）必有一列向量是其余列向量的线性组合；（D）任一列向量是其余列向量的线性组合. 三、计算下列各题： 1．判断向量组,的线性相关性． 2．求向量组,的秩和一 个极大无关组,并将其余向量表成该极大无关组的线性组合． 3．设向量组，，若此向量组的秩为2，求的值。 四、证明题 1．设,线性无关,证明:,也线性无关． 2.设是矩阵，是矩阵，其中,是阶单位矩阵，若,证明的列向量组线性无关。 第四章线性方程组 一、填空题： 1．已知方程组无解，则　　　。 2．设为3阶方阵，，且向量和是的两个解向量。

则的通解为。 3．设都是4维列向量，且线性无关， ，。的通解为。 二、单选题： 1．设为阶方阵，，是方程组的两个不同的解向量，则方程组通解为（） （A）（B）（C）（D）。 2．元线性方程组有唯一解的充分必要条件是（） （A）；（B）为方阵且； （C）；（D），且为的列向量组的线性组合。 3．线性方程组（）与其所对应的齐次线性方程组满足（）。 （A）若有唯一解，则也有唯一解； （B）若有无穷多解，则也有无穷多解； （C）若有无穷多解，则也有无穷多解； （D）若有唯一解，则无解。 4.设是四元非齐次线性方程组的三个解向量，且，是任意常数，，。则线性方程组的通解 为（）。

A，B，C，D 三、计算题 1．求齐次线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示它的全部解： 2.求线性方程组的全部解： 3．当取何值时，下列线性方程组有解？有解时，求出其全部解： 。 4．当取何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？并在 有无穷多解时求其通解。 四、证明题： 1.设有方程组，，，， 证明：此方程组有解的充分必要条件是。 2.设是的个线性无关的解，，证明是的基础解系。 第五章方阵的特征值与特征向量 一、填空题： 1．设方阵的行列式，则必有一个特征根为。 2．设为3阶方阵，的三个特征根为1，2，3，则=。 3．设的每行元素的和均为6，则有一个特征根为。

及一个属于此特征根的特征向量为。 4．设为3阶方阵，且，则=。 5．设与均为阶方阵，为可逆阶方阵，使得。那么，若是的特征根，是的属于特征根的特征向量，则必为的属于特征根的特征向量。 二、选择题： 1．设3阶方阵与相似，且的3个特征根为2，3，4。则=（）。 A12，B，C，D。 2．设为3阶方阵，的三个特征根为3，2，1，其对应的特征向量依次为，则=（）。 A，B，C，D。 3．设都是阶方阵，且相似于，则下列说法不正确的是（）。 A，B， C，D与都相似于同一个对角矩阵。 4．已知，且，则（）。 A，B，C，D。 5.设是一个3阶方阵，且，又已知的两个特征根为 ，则=（）。

A3，B2，C12，D12。 三、计算题： 1.求矩阵的特征值与特征向量。 2.判断是否可对角化，若可对角化，则求出对角矩阵与相似变换矩阵。 3.已知，，且， （1）求； （2）求可逆矩阵 ，使。 四、证明题： 1．设是的特征根，证明： （1）5是5的特征根；（2）是的特征根。 2．证明若可对角化，则必有。 第六章二次型 一、填空题： 1．二次型的系数矩阵为。 2．设实对称矩阵与其在正交变换下的标准形分别为 ，， 且，则。 3．已知为3阶实对称矩阵，且满足条件。则=；在 正交变换下的标准形为。 4．设为正定矩阵，则的取值范围是。 5．二次型在正交变换下的标准形为。

秩数为；正惯性指数为；负惯性指数为。 二、选择题： 1．设均为阶正交矩阵，则下列矩阵不一定为正交矩阵的是（）： A；B；C；　D；。 2。已知二次型在正交变换下的标 准形为，则（）。 A4；B4；C2；　D2。 3.设矩阵 正定，则其在正交变换下的标准形为（）。 A；B；C；D。 三、计算下列各题： 1．把下列线性无关的向量组进行正交化。 。 2．用正交变换把下列二次型化为标准形，并求出所用的正交变换。 ； 3．判断下列二次型是否是正定二次型。 （1）； （2）。 四、证明题： 1．证明正交变换不变向量的内积与不变向量的长度。即：设为阶正交矩阵，是 维向量。

证明 （1）与的内积等于与的内积； （2）。 2．设是可逆的实对称矩阵，证明为正定矩阵。 3．设是阶正定矩阵，证明。 《线性代数》基础习题答案 第一章行列式 5．填空题： 1．2，1；2.；3．（正）；4．2；5．2000. 6．计算下列各题： 1．解 . 2.解将的第4行换为1，1，1，1，则 . 3.解由行列式展开定理有 . 4．解： . 5．解： . 6．解：第一列提出一个2，第二列提出一个3，第三列提出一个4，第四列提出一个5。 =5760. 7．解：若所给方程组有非零解，则其系数行列式必为零，即 ， 从而得或. 第二章矩阵 一填空题 1。

2；2.；3.；4.6；5.16。 2、选择题 1.B；2.C；3.B；4.B。 三、计算题 1.解 ，故。 2.解由可得，故 ， 故。 3.证明，若是对称矩阵，则； 若，则，故是对称矩阵。 第二章解 . 第三章解 由已知，于是有. 8．解由可得， 故可逆，且. 第二章向量空间 一、填空题： 1、。2、相关。3、7。4、。5、3。 二、选择题： 1、（B）。2、（D）。3、（B）。4、（B）。5、（C）。 三、计算下列各题： 1、解： 。 所以，，从而，线性无关。 2、 所以，；，，是它的一个极大无关组； 且,。 3、解： 由知。

即。 四、证明题： 1、证明：设，即 因为线性无关，所以， 所以，线性无关。 2、证明：由知，。 又因为，所以，。 从而，的列向量组线性无关。 第四章线性方程组 9．填空题： 1．不为的任何数；2．（为常数）； 3．（为常数）. 10．单选题： 1．C；2．D；3．B；4．C. 三、计算题 1．解：把方程组的系数矩阵通过行初等变换化为最简梯矩阵 所以原方程组的同解方程组为 即 令，得到原方程组的基础解系为 ，， 故原方程组的全部解是，这里是任意常数。 2．解：对线性方程组的增广矩阵做行初等变换化为最简梯矩阵 则原方程组的同解方程组为 令。

得原方程组的特解为 原方程组对应的齐次方程组的同解方程组为 其基础解系为 ， 于是原方程组的通解为 这里为任意常数。 3．解：对线性方程组的增广矩阵做行初等变换化为梯矩阵 当时，，所以线性方程组有解，此时增广矩阵化为 则原方程组的同解方程组为， 令，得原方程组的特解为， 原方程组对应的齐次方程组的同解方程组为 其基础解系为， 于是原方程组的通解为（为任意常数）。 4．解：对上述方程组的增广矩阵做行初等变换化为梯矩阵 ⑴当时，，方程组有唯一解； ⑵当时，，方程组无解； (3)当时，，方程组有无穷多解，此时 ， 令，得到原方程组的基础解系为 。

， 故原方程组的通解是，（为任意常数）。 四、证明题： 1.证明：对方程组的增广矩阵做行初等变换化为梯矩阵 （依次将第1，2，3，4行加到第5行上） 于是 原方程组有解。 2.证明：由可知，齐次线性方程组的基础解系包含个解向量。为证结论，只需证是的个解且线性无关。 先证是的个解。由于是的个解，所以有 ，，，……， 于是有 所以是的个解。 再证线性无关。设存在常数，使得 ， 整理可得 由于线性无关，故有不全为零，于是有不全为零，所以线性无关。 结论得证。 第五章方阵的特征值与特征向量 11．填空题： 1．0；2．；3．6,；4.；5.

. 12．单选题： 1．B；2．D；3．D；4．D；5.D. 三、计算题 1．解：因的特征多项式 　　　 所以的特征值为， 当时，解方程组，即 　　　　　　　　 得基础解系，则属于的全体特征向量为。 　　当时，解方程组，即 得基础解系，，则属于的全体特征向量为(，不同时为０)。 2.解因的特征多项式 　　　 所以的特征值为，. 对于，解方程组，即 得基础解系，， 由于二重特征根的代数重数等于几何重数，故知可对角化. 对于，解方程组，即 　　　　　　　　 得基础解系，取，则有 . 因此为所求的相似变换矩阵，即为所求的对角矩阵. 3.解：（1）由已知得是的特征根。