线性代数练习题答案网友投稿

【文章导读】计算下列三阶行列式：；；；；；；其中对角线上元素都是，未写出的元素都是；解（范德蒙行列式公式）（范德蒙行列式公式）设，求设，求解：第二章矩阵一．

计算下列三阶行列式： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）,其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0； 解 （1） = （2） （3）（范德蒙行列式公式） （4）12（范德蒙行列式公式） (5)===0 (6)=== （7） () 2.（1）设，求 （2）设，求 解：（1）= （2）= = 第二章矩阵 一． 1.4，4 2. 3.1, 4. 二．ABDD 三． 1.解：先化简 从而 而可逆 所以 2.（1）， (2) 3.证明：由两边同时加上得 ，要据矩阵乘法及加法的性质得 。

根据可逆矩阵的定义知，可逆，且 4.解： 当时，，所以R(A)=3 当时，，另外显然有A的二阶子式不为零，所有R(A)=2 5．解： 6．解: 7.解： 第3章线性方程组 1．非齐次线性方程组 当取何值时有解？并求出它的解． 解　 方程组有解，须得 当时,方程组解为 当时,方程组解为 2．已知试讨论向量组，，以及，的线性相关性。 解 可见，向量组线性相关； 而向量组线性无关。 3．设矩阵，求矩阵A的列向量组的一个最大线性无关组，并把不属于最大线性无关组的列向量用最大线性无关组线性表示。 解 事实上 ，

而由行最简形矩阵 4．求齐次线性方程组 的基础解系和通解。 解 第一步， 得同解方程组 第二步， 第三步， 5．求解非齐次线性方程组 解 第一步， 第二步，得 第三步，， 取得到基础解系为 第四步，原非齐次线性方程组的通解为 即 第四章 1．计算矩阵的特征值与特征向量 解：因为方阵A的特征多项式为 所以A的特征值为，。 当时，代入特征方程组，由 得基础解系，因此，属于的全部特征向量为。 当时，代入特征方程组，由 得基础解系，因此，属于的全部特征向量为。 2．已知三阶矩阵A的3个特征值分别为1。

1,2，矩阵，求B的特征值，并求出行列式的值。 解：因为，所以B的特征值为。将矩阵A的3个特征值分别为1,1,2分别代入得B的三个特征值：4,6，12. 从而。 3．设三阶方阵A的三个特征值为，，，对应的特征向量分别为 ，，，求。 解：根据题意知A能对角化，故根据矩阵对角化的性质有： ，其中。 所以有，。 所以，又因为，所以 4．判断下列矩阵是否与对角阵相似。若与对角阵相似，求一个可逆矩阵P，使为对角矩阵。 （1） （2） 解：（1）由求解得（二重）。将代入特征方程组得： ，其系数矩阵为 因为，所以不能与对角阵相似。 （2）由求解得三个不同的，所以可以与对角阵相似。

将代入特征方程组得，解为：，（）； 将代入特征方程组得，解为：，（）； 将代入特征方程组得，解为：，（）。 故得使 5．设A为n阶方阵且，试证明A的特征值为1或1． 证明：设为A的任一特征值，则为的特征值，而的全部特征值全为1，所以，解得或，故A的特征值为1或1. 6．设方阵与相似，求x,y. 解：由两个矩阵相似可得 ，即。求解得 7.教材Ex4(3) 第五章二次型 1.写出二次型的矩阵表示式,并求其秩。 解：二次型的矩阵表示式为 . 因为二次型的矩阵的秩为3,故二次型的秩为3. 2.求一正交变换将二次型化成标准型,其中。 解:二次型对应的矩阵 解得的特征值 将代入特征方程得 得方程组基础解系 单位化得 将代入特征方程得 得方程组 基础解系为单位化 将代入特征方程得 得方程组 基础解系。