• / 49

《概率论与数理统计(经管类)》(代码4183)自学考试复习.doc

资源描述:
《《概率论与数理统计(经管类)》(代码4183)自学考试复习.doc》由本站会员分享,支持在线阅读,更多《《概率论与数理统计(经管类)》(代码4183)自学考试复习定稿.doc》相关的内容可在三九文库网上搜索。

《概率论与数理统计(经管类)》(4183)自学考试复习提纲第一章随机事件与概率1、排列组合公式:排列数从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。组合数从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。例如:袋中有8个球,从中任取3个球,求取法有多少种?解:任取出三个球与所取3个球顺序无关,故方法数为组合数注:排列数经常用组合数及乘法原理得到,并不直接写出。2、加法和乘法原理:加法原理(两种方法均能完成此事):m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):mn某件事由两个步骤来完成。

第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n种方法来完成,则这件事可由mn种方法来完成。例1、从北京到上海的方法有两类:第一类坐火车,若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3,则坐火车的方法有3种;第二类坐飞机,若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机,分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。解:从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。例2、从北京经天津到上海,需分两步到达。  第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班,记作汽1、汽2、汽3  第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班,记作飞1、飞2  问从北京经天津到上海的交通方法有多少种?解:从北京经天津到上海的交通方法共有:  ①汽1飞1,②汽1飞2,③汽2飞1,④汽2飞2,⑤汽3飞1,⑥汽3飞2。

共6种,它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘32=6生成。3、基本事件、样本空间和事件:如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。随机试验所有可能结果构成的集合为样本空间,记为。中的元素称为样本点,记为。样本空间的任一子集称为随机事件。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是的子集。必然事件:在一次试验中,一定出现的事件,叫必然事件,习惯用表示必然事件。  例如,掷一次骰子,点数≤6的事件一定出现,它是必然事件。不可能事件:在一次试验中,一定不出现的事件叫不可能事件。

而习惯用表示不可能事件。例如,掷一次骰子,点数大于6的事件一定不出现,它是不可能事件。4、事件的关系与运算:①关系:如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):如果同时有,,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。A、B中至少有一个发生的事件:,或者。属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为AB,也可表示为AAB或者,它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生:,或者。,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为。它表示A不发生的事件。

互斥未必对立。②运算:交换律:结合律:A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配律:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根律:,例3、A,B,C表示三事件,用A,B,C的运算表示以下事件。(1)A,B,C三事件中,仅事件A发生  (2)A,B,C三事件都发生(3)A,B,C三事件都不发生(4)A,B,C三事件不全发生(5)A,B,C三事件只有一个发生(6)A,B,C三事件中至少有一个发生解:(1)(2) (3)(4)(5)(6)例4、某射手射击目标三次:A1表示第1次射中,A2表示第2次射中。

A3表示第3次射中。表示三次中射中0次,表示三次中射中1次,表示三次中射中2次,表示三次中射中3次,请用、、的运算来表示、、、。解:(1)  (2)  (3)  (4)例5、A,B,C表示三事件,用A,B,C的运算表示下列事件。(1)A,B都发生且C不发生(2)A与B至少有一个发生而且C不发生(3)A,B,C都发生或A,B,C都不发生(4)A,B,C中最多有一个发生(5)A,B,C中恰有两个发生(6)A,B,C中至少有两个发生(7)A,B,C中最多有两个发生解:(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)(7)例6、若Ω={1。

2,3,4,5,6};A={1,3,5};B={1,2,3}求(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7),(8)。解:(1)={1,2,3,5}; (2)={1,3}; (3)={2,4,6};(4)={4,5,6}; (5)={4,6}; (6)={2,4,5,6};  (7)={2,4,5,6}; (8)={4,6}  由本例可验算对偶律,,正确例7、A,B,C为三事件,说明下列表示式的意义。(1);(2); (3); (4)解:(1)表示事件A,B,C都发生的事件。 (2)表示A,B都发生且C不发生的事件。 (3)AB表示事件A与B都发生的事件。

对C没有规定,说明C可发生,也可不发生。 ∴AB表示A与B都发生的事件。(4)  所以表示A与B都发生的事件。5、概率的公理化定义:设为样本空间,为事件,对每一个事件都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:10≤P(A)≤1,2P(Ω)=13对于两两互不相容的事件,,…有(3通常称为可列(完全)可加性)则称P(A)为事件的概率。6、古典概型:1,2。设任一事件,它是由组成的,则有P(A)==例8、掷三次硬币,设A表示恰有一次出现正面,B表示三次都出现正面,C表示至少出现一次正面,求:(1)P(A);(2)P(B);(3)P(C)解:样本空间Ω={正正正。

正正反,正反正,正反反,反正正,反正反,反反正,反反反};(1)(2)(3)7、常用公式:加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)例9、若P(A)=0.5,P(A+B)=0.8,P(AB)=0.3,求P(B)  解:因为P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)  ∴P(B)=P(A+B)+P(AB)P(A)  =0.8+0.30.5=0.6减法公式:P(AB)=P(A)P(AB)当BA时,P(AB)=P(A)P(B)当A=Ω时,P()=1P(B)例10、已知P(B)=0.8,P(AB)=0。

5,求。解:。例11、若A与B互不相容,P(A)=0.5,P(B)=0.3,求。解:(1)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8根据对偶公式所以。条件概率:定义设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为。乘法公式:更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An1)>0,则有。事件独立性:①两个事件的独立性设事件、满足,则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立,且,则有若事件、相互独立,则可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。②多个事件的独立性设ABC是三个事件。

如果满足两两独立的条件,P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),那么A、B、C相互独立。对于n个事件的独立性,可类似定义。例12、甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次,他们击中目标的概率分别为0.7,0.8和0.9,求目标被击中的概率。解:记={目标被击中},则全概公式:设事件满足1两两互不相容,,2,则有。例13、有两批相同的产品,第一批产品共14件,其中有两件为次品,装在第一个箱中;第二批有10件,其中有一件是次品,装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中。

然后再从第二箱中任取一件,求从第二箱中取到的是次品的概率。解:用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。用表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则,,,根据全概率公式,有:贝叶斯公式:设事件,,…,及满足1,,…,两两互不相容,>0,1,2,…,,2,,则,i=1,2,…n。此公式即为贝叶斯公式。,(,,…,),通常叫先验概率。,(,,…,),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。例14、设男女两性人口之比为51:49,男性中的5%是色盲患者,女性中的2.5%是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人。

恰好是色盲患者,求此人为男性的概率。解:用表示色盲,表示男性,则表示女性,由已知条件,显然有:因此:根据贝叶斯公式,所求概率为:伯努利概型:我们作了次试验,且满足u每次试验只有两种可能结果,发生或不发生;u次试验是重复进行的,即发生的概率每次均一样;u每次试验是独立的,即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型,或称为重伯努利试验。用表示每次试验发生的概率,则发生的概率为,用表示重伯努利试验中出现次的概率,,。例15、在四次独立试验中,事件A至少发生一次的概率为0.5904,求在三次独立试验中,事件A发生一次的概率.解:记={四次独立试验。

事件A至少发生一次},={四次独立试验,事件A一次也不发生}。而,因此。所以三次独立试验中,事件A发生一次的概率为:。第二章随机变量及其概率分布1、离散型随机变量的分布律设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为,则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出:…………显然分布律应满足下列条件:(1),;(2)例1、设离散型随机变量的概率分布为试确定常数.解:根据,得,即。故2、连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数。

若存在非负函数,对任意实数,有,则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。密度函数具有下面4个性质:1;2。3、分布函数设为随机变量,是任意实数,则函数称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。注:可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间(–∞,x]内的概率。分布函数具有如下性质:1;2是单调不减的函数,即时,有;3,;4,即是右连续的;5。对于离散型随机变量,;对于连续型随机变量,。例2、已知20件同类型的产品中有2件次品,其余为正品.今从这20件产品中任意抽取4次,每次只取一件,

展开阅读全文
 温馨提示:
下载提示
关于本文
本文标题:《概率论与数理统计(经管类)》(代码4183)自学考试复习.doc
链接地址:https://www.999doc.com/662317.html
关于我们 - 网站声明 - 网站地图 - 资源地图 - 友情链接 - 联系我们

copyright © 2016-2021  999doc三九文库网 版权所有

经营许可证编号:苏ICP备2020069977号  网站客服QQ:772773258  联系电话:0518-83073133