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高中数学解题思路大全—利用均值不等式求最值的方法.doc

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利用均值不等式求最值的方法记住:一、配凑1.凑系数例1.当时,求的最大值。解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。当且仅当,即x=2时取等号。所以当x=2时,的最大值为8。评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。2.凑项例2.已知,求函数的最大值。解析:由题意知,首先要调整符号,又不是定值,故需对进行凑项才能得到定值。∵∴当且仅当,即时等号成立。评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。

3.分离例3.求的值域。解析:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。当,即时(当且仅当x=1时取“=”号)。当,即时(当且仅当x=-3时取“=”号)。∴的值域为。评注:分式函数求最值,通常化成,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换例4.已知,求的最小值。解法1:不妨将乘以1,而1用a+2b代换。当且仅当时取等号,由即时,的最小值为。解法2:将分子中的1用代换。评注:本题巧妙运用“1”的代换,得到,而与的积为定值,即可用均值不等式求得的最小值。

三、换元例5.求函数的最大值。解析:变量代换,令,则当t=0时,y=0当时,当且仅当,即时取等号。故。评注:本题通过换元法使问题得到了简化,而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题,从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方例6.求函数的最大值。解析:注意到的和为定值。又,所以当且仅当,即时取等号。故。评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了条件。总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用均值不等式。均值不等式求最值“失效”时的对策利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一。

应注意“一正二定三相等”.在解题的过程中,有时往往出现“凑出了‘常数’却取不到‘等号’”的失效现象,下面浅析此时的应付对策,供同学们参考.一、平衡系数实施均拆这是最常用的一种技巧,常有均拆整式、均拆分式、均拆幂指数等.例1求函数的最小值.错解:剖析:此类错误出现较多,而且错误是不知不觉的,实际是忽视了等号成立的条件,即必须成立,而实际上是不可能的,解决方法可实施均拆法.正解:(均拆整式)上式当且仅当,即时取等号.例2求函数y=x2+(x>0)的最小值.解:(均拆分式)∵x>0,∴y=x2+≥3=12.当且仅当x2=,即x=2时,等号成立.故y的最小值为12.例3若0<x<,求函数y=x2(1-3x)的最大值.解:(均拆幂指数)∵0<x<,∴1-3x>0.y=x2(1-3x)=x?x?(1-3x)=≤=.当且仅当,即x=时,等号成立,即y的最小值为.二、引入参数巧渡难关例4用总长14。

8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.错解:设容器底面短边长,则另一边长为m,并设容积为,则高为从而当且仅当,即时,高为1.4.所以,容器的高为1.4m时容积最大,最大容积为.剖析:上式中等号成立的前提是,此时的显然不存在,即此时等号取不到.而用均拆法,也似乎无能为力,此时可引入参数,借助待定系数法,从而使问题得以解决.当然学了高三《导数》后,还可利用导数法求最值.正解:(建模过程同前),其中是待定的正常数,满足解得此时上式中,当时等号成立,因此当时,取到最大值为1。

8,这时高为.所以,容器的高为1.2m时容积最大,最大容积为1.8.三、单调处理简捷迅速例5求函数的最小值.错解:剖析:本题似乎无懈可击,其实令,则有,即无实数解,也就是等号取不到,因而找不到最小值.正解1:由,令易证为增函数.所以当,即时,.正解2:设,则.设g(t)=,易得g(t)在t∈[2,+∞)是单调递增且大于0,故f(t)在t∈[2,+∞)也是单调递增.∴ymax==,在t=2,即x=0时取等号.四、分项拆项观察等号对于函数的最值,当直接使用均值不等式失效时,除用单调性外,还可用“分项拆项法”,再用均值不等式,同时要注意等号.例6已知。

求函数的最小值.解:由,得,则例7设a>0,b>0,且a+b=1,求证(a+)(b+)的最小值.错解1:(a+)(b+)≥=4,故最小值为4.错解2:(a+)(b+)=ab+≥2+2=4,故最小值为4.剖析:上述错解因为等号成立的条件与a+b=1不能同时成立,故取不到最小值4.本题可利用等号成立的条件来配凑,观察最小值恰好在a=b=时取到,故可以合理配凑出等号恰好在“a=b=”取得.正解1:(a+)(b+)=ab+≥ab++2≥2++2=+≥+=.当且仅当a=b=时取等号.所以(a+)(b+)的最小值.正解2:(a+)(b+)=≥(由0<ab≤)≥25?=.当且仅当a=b=时取等号.所以(a+)(b+)的最小值.五、三角代换有界求解例8实数m。

n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b,且a≠b,求mx+ny的最大值.错解:∵mx≤(m2+x2),ny≤(n2+y2).∴mx+ny≤(m2+x2+n2+y2)=(a+b).故mx+ny的最大值为(a+b).剖析:在上面的求解过程中,等号成立的条件是a=b,而已知a≠b,故取不到最大值为(a+b).但考虑到已知条件的结构可借助三角代换,运用有界性来解决.正解:设m=sin,n=cos,x=sin,y=cos.则mx+ny=(sinsin+coscos)=cos(-).∵cos(-)∈[-1,1],∴mx+ny的最大值为.六、整体代换减少放缩环节多次运用均值不等式。

往往导致等号取不到.而用整体代换,可避免多次放缩,从而使问题获解.例9若x,y这正整数,满足=1,求x+y的最小值.错解:∵1=≥.∴≥16.又∵x+y≥2≥32.故x+y的最小值为32.剖析:在求解过程中,利用两次放缩,在≥16中y=4x时等号成立.而在x+y≥2中,x=y时等号成立,但这两次等号不能同时成立,故最小值32取不到.若采用整体代换,即可避免多次放缩,从而使问题获解.正解:x+y=1?(x+y)=()(x+y)=20+()≥20+2=36.∴x+y的最小值为36,当x=12,y=24时等号成立.9

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