第五章 向量空间已确认

【文章导读】第五章向量空间 基础训练题 1.设V是数域F上向量空间，假如V至少含有一个非零向量a，问V中的向量是有限多还是无限多？有没有n(n³2)个向量构成的向量空间？ 解无限多；不存在n(n³2)个向量构成的向量空间(因为如果F上一个向量空间V

第五章向量空间 基础训练题 1.设V是数域F上向量空间，假如V至少含有一个非零向量a，问V中的向量是有限多还是无限多？有没有n(n³2)个向量构成的向量空间？ 解无限多；不存在n(n³2)个向量构成的向量空间(因为如果F上一个向量空间V含有至少两个向量,那么V至少含有一个非零向量a,因此V中含有a,2a,3a,4a,…,这无穷多个向量互不相等,因此V中必然含有无穷多个向量). 2.设V是数域F上的向量空间，V中的元素称为向量，这里的向量和平面解析几何中的向量，空间解析几何中的向量有什么区别？ 解这里的向量比平面中的向量意义广泛得多,它可以是多项式,矩阵等,不单纯指平面中的向量。

3.检验以下集合对所指定的运算是否构成数域F上的向量空间. （1）集合：全体n阶实对称矩阵；F：实数域；运算：矩阵的加法和数量乘法； （2）集合：实数域F上全体二维行向量；运算： (a1,b1)(a2,b2)＝(a1＋a2,0) k(a1,b1)＝(ka1,0) （3）集合：实数域上全体二维行向量；运算： (a1,b1)(a2,b2)＝(a1＋a2,b1＋b2) k(a1,b1)＝(0,0) 解(1)是;(2)不是(因为零向量不唯一); (3)不是(不满足向量空间定义中的(8)). 4.在向量空间中，证明， (1)a(－a)=－aa=(－a)a, (2)(ab)a＝aa－ba。

a,b是数，a是向量. 证明(1)0=0 又0 综上, (2). 5.如果当k1＝k2＝…＝kr＝0时，k1a1＋k2a2＋…＋krar＝0,那么a1,a2,…,ar线性无关.这种对吗？为什么? 解这种不对.例如设a1=(2,0,1),a2=(1,2,3),a3=(0,4,5),则0a1+0a2+0a3=0.但a1,a2,a3线性相关,因为a1+2a2－a3=0. 6.如果a1,a2,…,ar线性无关，而ar＋1不能由a1,a2,…,ar线性表示，那么a1,a2,…,ar,ar＋1线性无关.这个命题成立吗？为什么？ 解成立.反设a1,a2,…,ar,ar＋1线性相关,由条件a1,a2,…,ar线性无关知ar＋1一定能由a1,a2,…,ar线性表示,矛盾。

7.如果a1,a2,…,ar线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合.这种对吗？为什么？ 解对.反设ai=k1a1+k2a2+…ki1ai1+ki+1ai＋1+…+krar,则 k1a1+k2a2+…ki1ai1+(－1)ai+ki+1ai＋1+…+krar=0. 由于－10,故a1,a2,…,ar线性相关. 8.如果向量a1,a2,…,ar线性相关，那么其中每一个向量都可由其余向量线性表示.这种对吗？为什么？ 解不对.设a1=(1,0),a2=(2,0),a3=(0,1),则a1,a2,a3线性相关,但a3不能由a1,a2线性表示. 9.设a1＝(1,0,0),a2＝(1。

2,0),a3＝(1,2,3)是F3中的向量，写出a1,a2,a3的一切线性组合.并证明F3中的每个向量都可由{a1,a2,a3}线性表示. 解k1a1+k2a2+k3a3k1,k2,k3F. 设k1a1+k2a2+k3a3=0,则有,解得k1=k2=k3=0. 故a1,a2,a3线性无关. 对任意(a,b,c)F3,(a,b,c)=,所以F3中的每个向量都可由{a1,a2,a3}线性表示. 10.下列向量组是否线性相关 (1)a1＝(1,0,0),a2＝(1,1,0),a3＝(1,1,1)； (2)a1＝(3,1,4),a2＝(2,5,1),a3＝(4,3,7). 解(1)线性无关。

(2)线性无关. 11.证明，设向量a1,a2,a3线性相关，向量a2,a3,a4线性无关，问： (1)a1能否由a2,a3线性表示？说明理由； (2)a4能否由a1,a2,a3线性表示？说明理由. 解(1)因为a2,a3线性无关而a1,a2,a3线性相关,所以a1能由a2,a3线性表示; (2)反设a4能由a1,a2,a3线性表示,但a1能由a2,a3线性表示,故a4能由a2,a3线性表示,这与a2,a3,a4线性无关矛盾,所以a4不能由a1,a2,a3线性表示. 12.设a1＝(0,1,2),a2＝(3,－1,0),a3＝(2,1,0)， b1＝(1,0,0),b2＝(1,2,0),b3＝(1,2,3) 是F3中的向量。

证明，向量组{a1,a2,a3}与{b1,b2,b3}等价. 证明(b1,b2,b3)=()A (a1,a2,a3)=()B 其中A=,B=.易验证A,B均可逆,这样 (b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)(B1A) (a1,a2,a3)=(b1,b2,b3)(A1B), 故向量组{a1,a2,a3}与{b1,b2,b3}等价. 13.设数域F上的向量空间V的向量组{a1,a2,…,as}线性相关，并且在这个向量组中任意去掉一个向量后就线性无关.证明，如果＝0(kiÎF)，那么或者k1＝k2＝…＝ks＝0,或k1，k2，…，ks全不为零. 证明由条件＝0(kiÎ。

F)知 kiai=(k1a1+k2a2+…ki1ai1+ki+1ai＋1+…+ksas)（*） (1)当ki=0时,（*)式左边等于零,故k1a1+k2a2+…ki1ai1+ki+1ai＋1+…+ksas=0.由于这s1个向量线性无关,所以k1＝k2＝…＝ks＝0. (2)当ki0时,ai=(k1a1+k2a2+…ki1ai1+ki+1ai＋1+…+ksas),下证对于任意时kj0.反设kj=0,则ai可由s2个向量线性表示.这与任意s1个向量线性无关矛盾,所以此时k1,k2，…，ks全不为零. 14.设a1＝(1,1),a2＝(2,2),a3＝(0,1),a4＝(1,0)都是F2中的向量。

写出{a1,a2,a3,a4}的所有极大无关组. 解a1,a3;a1,a4;a2,a3;a2,a4;a3,a4. 15.设 A1＝,A2＝,A3＝,A4＝ÎM2×2(F). 求向量空间M2×2(F)中向量组{A1,A2,A3,A4}的秩及其极大无关组. 解秩{A1,A2,A3,A4}=3,{A1,A2,A3}是向量组{A1,A2,A3,A4}的一个极大无关组. 16．设由F4中向量组｛a1=(3，1，2，5)，a2＝(1，1，1，2)，a3＝(2，0，1，3)，a4=(1，－1，0，1)，a5=(4，2，3，7)｝.求此向量组的一个极大无关组. 解(a1。

a2,a3,a4,a5)=()A,其中 A=,则秩A=2. 又(a1,a2)=()B,其中B=.秩B=2,故{a1,a2}线性无关,它是向量组{a1,a2,a3,a4,a5}的一个极大无关组. 17.证明，如果向量空间V的每一个向量都可以唯一表成V中向量a1,a2,…,an的线性组合，那么dimV＝n. 证明由条件零向量可唯一的表示成a1,a2,…,an的线性组合,这说明a1,a2,…,an线性无关,故可作为V的基,从而dimV＝n. 18.设b1,b2，…，bn是F上n(>0)维向量空间V的向量，并且V中每个向量都可以由b1,b2，…，bn线性表示.证明,{b1,b2，…，bn}是V的基。

证明由条件标准正交基{e1,e2,…,en}可由b1,b2，…，bn线性表示,反过来b1,b2，…，bn又可由{e1,e2,…,en}线性表示,所以{e1,e2,…,en}和{b1,b2，…，bn}等价.由{e1,e2,…,en}线性无关知{b1,b2，…，bn}线性无关,又因V中每个向量都可以由b1,b2，…，bn线性表示,由基的定义知{b1,b2，…，bn}是V的基. 19.复数集C看作实数域R上的向量空间（运算:复数的加法，实数与复数的乘法）时，求C的一个基和维数. 解基为{1,i}；dimC＝2. 20.设V是实数域R上全体n阶对角形矩阵构成的向量空间（运算是矩阵的加法和数与

求V的一个基和维数. 解基为Eii(i=1,2,…,n)；dimV＝n. 21.求§5.1中例9给出的向量空间的维数和一个基. 解任意一个不等于1的正实数都可作为V的基；dimV＝1. 22.在R3中，求向量a＝(1,2,3)在基e1＝(1,0,0)，e2＝(1,1,0)，e3＝(1,1,1)下的坐标. 解(1,1,3)T. 23.求R3中由基{a1,a2,as}到基{b1,b2,b3}的过渡矩阵，其中 a1＝(1,0,1),a2＝(1,1,0),a3＝(1,2,3)， b1＝(0,1,1),b2＝(1,0,1),b3＝(1,1,1). 解所求过渡矩阵为. 24.

设{a1,a2,…,an}是向量空间V的一个基，求由这个基到基{a3,a4,…,an，a1,a2}的过渡矩阵. 解所求过渡矩阵为. 25.已知F3中向量a关于标准基 e1＝(1,0,0)，e2＝(0,1,0)，e3＝(0,0,1) 的坐标是(1,2,3)，求a关于基 b1＝(1,0,1),b2＝(0,1,1),b3＝(1,1,3) 的坐标. 解(1,2,0)T. 26.判断Rn的下列子集哪些是子空间(其中R是实数域，Z是整数集). (1){(a1,0,…,0,an)|a1,anÎR}; (2){(a1,a2,…,an)|，a1,a2,…,anÎR}; (3){(a1。

a2,…,an)|aiÎZ,i＝1,2,…,n}; 解(1)是;(2)是;(3)不是(数乘不封闭). 27.设V是一个向量空间，且V¹{0}.证明，V不能表成它的两个真子空间的并集. 证明设W1与W2是V的两个真子空间 (1)若，则W1W2=W2V; (2)若,则W1W2=W1V; (3)若且,取但,但,那么,否则将有,这与矛盾,同理,所以V中有向量,即V. 28.设V是n维向量空间，证明V可以表示成n个一维子空间的直和. 证明设{a1,a2,…,an}是向量空间V的一个基,L(a1),L(a2),…,L(an)分别是由a1,a2,…,an生成的向量空间,要证 L(a1+a2+…+an)=L(a1)L(a2)LL(an) (1)因为{a1。

a2,…,an}是V的一个基,所以V中任一向量a都可由a1,a2,…,an线性表示,此即 L(a1+a2+…+an)=L(a1)+L(a2)+…+L(an). (2)对任意ij∈{1,2,…,n},下证L(ai)∩L(aj)={0}.反设存在0L(ai)∩L(aj),由L(ai)知存在k使得=kai；由∈L(aj)知存在使得=aj,从而ai=aj,即a1与a2线性相关,矛盾,所以L(ai)∩L(aj)={0}. 综上,L(a1+a2+…+an)=L(a1)L(a2)…L(an). 29.在R3中给定两个向量组 a1＝(2,1,1,1),a2＝(1,0,1,1), b1＝(1,2,1,0),b2＝(2,1,1,1)。