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高考数学中解排列组合问题.ppt

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1、基本概念和考点,2、合理分类和准确分步,3、特殊元素和特殊位置问题,4、相邻相间问题,5、定序问题,6、分房问题,7、环排、多排问题,12、小集团问题,10、先选后排问题,9、平均分组问题,11、构造模型策略,8、实验法(枚举法),13、其它特殊方法,排列组合应用题解法综述(目录),1,两个原理的区别与联系:,做一件事或完成一项工作的方法数,直接(分类)完成,间接(分步骤)完成,做一件事,完成它可以有n类办法,第一类办法中有m1种不同的方法,第二类办法中有m2种不同的方法,第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+mn种不同的方法,做一件事,完成它可以有n个步骤。

做第一步中有m1种不同的方法,做第二步中有m2种不同的方法,做第n步中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1m2m3mn种不同的方法.,回目录,2,1.排列和组合的区别和联系:,从n个不同元素中取出m个元素,按一定的顺序排成一列,从n个不同元素中取出m个元素,把它并成一组,所有排列的的个数,所有组合的个数,回目录,3,判断下列问题是组合问题还是排列问题?,(1)设集合A=a,b,c,d,e,则集合A的含有3个元素的子集有多少个?,(2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票?,有多少种不同的火车票价?,组合问题,排列问题,(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组。

共有多少种分法?,组合问题,(4)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?,组合问题,(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?,组合问题,(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?,排列问题,组合问题,回目录,4,合理分类和准确分步,解排列(或)组合问题,应按元素的性质进行分类,分类标准明确,不重不漏;按事情的发生的连续过程分步,做到分步层次清楚.,回目录,5,合理分类与分步策略,例.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?,解:,10演员中有5人只会唱歌。

2人只会跳舞3人为全能演员。,回目录,6,元素相同问题隔板策略,应用背景:相同元素的名额分配问题不定方程的正整数解问题,隔板法的使用特征:相同的元素分成若干部分,每部分至少一个,7,元素相同问题隔板策略,例.有10个运动员名额,在分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案?,解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板,可把名额分成份,对应地分给个班级,每一种插板方法对应一种分法共有种分法。,将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m1块隔板,插入n个元素排成一排的n1个空隙中,所有分法数为,回目录,8,例高二年级8个班。

组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?,解此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的隔板,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有种不同的放法,所以名额分配方案有种.,结论转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题,可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.,分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.,回目录,9,练习,(1)将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级,每班至少分到一个名额。

不同的分配方案共有()种。,(2)不定方程的正整数解共有()组,回目录,10,练习题,10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法?,2.x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解的组数,回目录,11,小结:把n个相同元素分成m份每份,至少1个元素,问有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法”得出共有种.,回目录,12,平均分组问题除法策略,“分书问题”,13,平均分组问题除法策略,例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法?,解:分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB。

EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。,平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。,回目录,14,1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法?,2.10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法,(1540),3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为,回目录,15,分清排列、组合、等分的算法区别。

例(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少种分法?(3)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,每份2件,有多少种分法?,解:(1),(2),(3),回目录,16,练习(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?,解:(1),(2),回目录,17,小结:排列与组合的区别在于元素是否有序;m等分的组合问题是非等分情况的;而元素相同时又要另行考虑.,回目录,18,构造模型策略。

例.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种?,解:把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有种,一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决,回目录,19,练习题,某排共有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种?,120,回目录,20,先选后排问题,21,八.排列组合混合问题先选后排策略,例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法。

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法.,根据分步计数原理装球的方法共有,解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?,回目录,22,练习题,一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有种,192,回目录,23,3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?,先选后排问题的处理方法,解法一:先组队后分校(先分堆后分配),回目录,24,解法二:依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士。

回目录,25,为支援西部开发,有3名教师去银川市三所学校任教,每校分配1人,不同的分配方法共有种(用数字作答).,练习,改为4名教师?,改为5名教师?,回目录,26,有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有多少种?,回目录,27,四名同学分配到三个办公室去搞卫生,每个办公室至少去一名学生,不同的分配方法有多少种?,回目录,28,基础训练,回目录,29,练习某学习小组有5个男生3个女生,从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动,每项活动至少有1人参加,则有不同参赛方法种.,解:采用先组后排方法:,回目录,30,小结:本题涉及一类重

又有排列的问题,一般是先元素(即组合)后排列。,回目录,31,实验法(穷举法),(枚举法)应用举例,32,实验法(穷举法),题中附加条件增多,直接解决困难时,用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。,例将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格内,每个方格填1个,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有(),A.6B.9C.11D.23,分析:此题考查排列的定义,由于附加条件较多,解法较为困难,可用实验法逐步解决。,第一方格内可填2或3或4。如填2,则第二方格中内可填1或3或4。,若第二方格内填1,则第三方格只能填4,第四方格应填3。,若第二方格内填3,则第三方格只能填4,第四方格应填1。

同理,若第二方格内填4,则第三方格只能填1,第四方格应填3。因而,第一格填2有3种方法。,不难得到,当第一格填3或4时也各有3种,所以共有9种。,回目录,33,实际操作穷举策略,例.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,23,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法?,解:从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应,,回目录,34,实际操作穷举策略,例.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,23,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同。

.有多少投法?,解:从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应,,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2种,回目录,35,练习:(不对号入座问题),(1)(2004湖北)将标号为1,2,3,,10的10个球放入标号为1,2,3,,10的10个盒子中,每个盒内放一个球,恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法有种,(2)编号为1、2、3、4、5的五个球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子里,至多有2个对号入座的情形有种,109,直接法:,间接法:,回目录,36,注意区别“恰好”与“至少”,从6双不同颜色的手套中任取4只,其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有()(A)480种(B)240种(C)180种(D)120种。

小结:“恰好有一个”是“只有一个”的意思。“至少有一个”则是“有一个或一个以上”,可用分类讨论法求解,它也是“没有一个”的反面,故可用“排除法”。,解:,回目录,37,练习从6双不同颜色的手套中任取4只,其中至少有一双同色手套的不同取法共有种,解:,回目录,38,对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果,练习题,同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种?,(9),2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有种,72,回目录,39,其它特殊方法,40,分解与合成策略,例。

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