线性代数复习题及答案整理版

【文章导读】一填空、三阶行列式的值为、已知矩阵为三阶方阵，且，则、五级排列的逆序数为。、若阶方阵满足，那么、若，则、设，则它们线性。、设矩阵，则矩阵的秩。、设，其中，则。，设为阶方阵的一个特征值，则的一个特征值为。（其中为阶单位矩阵），已知矩阵的

一．填空 1、三阶行列式的值为. 2、已知矩阵为三阶方阵，且，则=. 3、五级排列41253的逆序数为。 4、若阶方阵满足，那么=. 5、若，则 6、设，则它们线性。 7、设矩阵，则矩阵的秩。 8、设，其中，则。 9，设为阶方阵的一个特征值，则的一个特征值为。（其中为阶单位矩阵） 10，已知矩阵的特征值为，则　　　　 11，二次型的矩阵是填空题。 12，设矩阵，则矩阵的秩。 13,设为阶方阵的一个特征值，则的一个特征值为。（其中为阶单位矩阵）。 14,设，，则 15,已知三阶方阵的特征值为，则的特征值为；的特征值为；的特征值为。 16,当取什么值时，向量组 线性相关？ 二、简答题 1、判定矩阵是否为正定矩阵 2、求矩阵的秩。

3、设向量组，若线性相关，问：应满足什么关系式？ 4、求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解： 5，解矩阵方程： 6，设中两向量，，求其夹角。 7，设向量组： .求向量组的一个极大无关组 8，已知，，线性无关，证明：，，线性无关 9、判定向量组，，的线性相关性. 10、已知，求. 11、设矩阵,求. 12、设线性无关，试证明线性相关. 13,设矩阵与矩阵相似,求y. 14,设矩阵是正定矩阵,求的值. 15,当取什么值时，向量组 线性相关？ 三，解答题 1，（8分）已知三阶矩阵的特征值为，求行列式的值. 2，（12分）求齐次线性方程组的全部解（用基础解系表示） 3。

（10分）设矩阵，试求的特征值和其中一个特征值所对应的特征向量. 4，（10分）将二次型 (1)化为标准型； (2)写出所用的线性变换矩阵； (3)写出该二次型的规范形． 5、（10分）求向量组，，，的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示. 6、（10分）求矩阵的特征值和其中一个特征值的特征向量. 7、（10分）判定实二次型是否正定. 8、（10分）求非齐次线性方程组的全部解 9、解矩阵方程：． 10、设向量组： .求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示. 11,设矩阵， 试求的特征值和特征向量 12、将二次型 (1)化为标准型。

(2)写出所用的线性变换换矩阵； (3)写出该二次型的规范形 13,求非齐次线性方程组的全部解（用基础解系表示） 参考答案 一．填空(每小题5分,共20分) 1、3。 2、。 3、4。 4、 5、 6、无关 7、3 8、 9，答：. 10，答：，解得 11，答：。 12，答：2 13, 14,. 15,：；； 二、简答题（每题10分，共40分。以下各题，应写出解题步骤） 1、解：因为，，，所以，是正定矩阵。 2、解：。. 3、解：，即。 4、解：系数矩阵，对其进行初等行变换，得行阶梯形矩阵 ， 因此，对应齐次线性方程组的一个基础解系为 。

通解为，其中为任意常数。 5,　 ． 6，解：； ； 。 7，== 由最后一个矩阵可知：是一个极大无关组. 8，证明：令 即 由于线性无关，上式成立必有 由于系数行列式 齐次线性方程组只有零解，故必有，线性无关性即得证 9、解：解： ，因此向量组线性无关。 10、解： 11、解：,=2. 12，解：设有常数使得 成立，整理得： 由线性无关，故 因为，故上面的方程组（2）有非零解，因此存在一组不全为零的数使得（1）成立，从而线性相关 13,因为,所以;于是, . 14,因为A正定,所以其顺序主子式全大于零;于是 .得到. 15,当或时。

行列式，向量组线性相关。 三，解答题 1，（10分）解：设为的特征值,则的特征值为 ，得到, 则 2，（9分）解：系数矩阵为,对其进行初等行变换得到 ,对应同解方程组为 ,从而基础解系为,全部解为. 3，（10分）解：（1）矩阵的特征多项式为 ，令，得矩阵的全部特征值为，。 对于，解齐次线性方程组。其系数矩阵 ，进行行初等变换，得行阶梯形矩阵，因此方程组的一个基础解系为，属于特征值全部特征向量为，其中为任意非零常数。 对于，解齐次线性方程组。其系数矩阵 ，进行行初等变换，得行阶梯形矩阵，因此方程组的一个基础解系为，则属于特征值全部特征向量为，其中为任意非零常数。 4。

（11分）解： 　　　　　　　　 　　　　　　　　，令 　　或 线性替换矩阵（即可逆线性变换矩阵）为， 标准形为，它就是规范形． . 5、（10分）解：令，对作初等行变换化为行阶梯形矩阵, 由最后一个矩阵可知：为一个极大无关组，且 6、（10分）解的特征方程 , 得的特征值为。 当时，解齐次线性方程组 可得它的一个基础解系为，所以所对应的全部特征向量为 ，这里为任意不为零的常数 当时，解齐次线性方程组 可得它的一个基础解系为，所以所对应的全部特征向量为 ，这里为任意不为零的常数 7、（8分）二次型的矩阵为，的各阶顺序主子式 ，，， 故正定。

8、（12分）解对该线性方程组的增广矩阵进行初等行变换,为 , 对应的方程组为,令得到该方程组的特解为, 令得到其对应的齐次线性方程组的基础解系为. 所以原方程组的全部解为 9，解： 10,解:, 由最后一个矩阵可知：是一个极大无关组，且 , 11、解：矩阵的特征多项式为， 令，得矩阵的全部特征值为，（二重）。 　　　　对于，解齐次线性方程组。其系数矩阵，进行行初等变换，得行阶梯形矩阵，因此方程组的一个基础解系为，则属于特征值全部特征向量为，其中为任意非零常数。 　　　　对于，解齐次线性方程组。其系数矩阵，进行行初等行变换，得行阶梯形矩阵，因此方程组的一个基础解系为。

则属于特征值全部特征向量为，其中为任意非零常数。 12、解： 　　　　　　　　 　　　　　　　　，令 　　或 线性替换矩阵（即可逆线性变换矩阵）为， 标准形为，它就是规范形． 说明：也可以用初等变换的方法化为标准形，然后再化为规范形． 13,对增广矩阵进行初等行变换得到 ,对应同解方程组为,从而基础解系为,特解为,全部解为(其中).