【文章导读】一填空、三阶行列式的值为、已知矩阵为三阶方阵,且,则、五级排列的逆序数为。、若阶方阵满足,那么、若,则、设,则它们线性。、设矩阵,则矩阵的秩。、设,其中,则。,设为阶方阵的一个特征值,则的一个特征值为。(其中为阶单位矩阵),已知矩阵的
【正文】
一.填空 1、三阶行列式的值为. 2、已知矩阵为三阶方阵,且,则=. 3、五级排列41253的逆序数为。 4、若阶方阵满足,那么=. 5、若,则 6、设,则它们线性。 7、设矩阵,则矩阵的秩。 8、设,其中,则。 9,设为阶方阵的一个特征值,则的一个特征值为。(其中为阶单位矩阵) 10,已知矩阵的特征值为,则 11,二次型的矩阵是填空题。 12,设矩阵,则矩阵的秩。 13,设为阶方阵的一个特征值,则的一个特征值为。(其中为阶单位矩阵)。 14,设,,则 15,已知三阶方阵的特征值为,则的特征值为;的特征值为;的特征值为。 16,当取什么值时,向量组 线性相关? 二、简答题 1、判定矩阵是否为正定矩阵 2、求矩阵的秩。
3、设向量组,若线性相关,问:应满足什么关系式? 4、求下列齐次线性方程组的一个基础解系和通解: 5,解矩阵方程: 6,设中两向量,,求其夹角。 7,设向量组: .求向量组的一个极大无关组 8,已知,,线性无关,证明:,,线性无关 9、判定向量组,,的线性相关性. 10、已知,求. 11、设矩阵,求. 12、设线性无关,试证明线性相关. 13,设矩阵与矩阵相似,求y. 14,设矩阵是正定矩阵,求的值. 15,当取什么值时,向量组 线性相关? 三,解答题 1,(8分)已知三阶矩阵的特征值为,求行列式的值. 2,(12分)求齐次线性方程组的全部解(用基础解系表示) 3。
(10分)设矩阵,试求的特征值和其中一个特征值所对应的特征向量. 4,(10分)将二次型 (1)化为标准型; (2)写出所用的线性变换矩阵; (3)写出该二次型的规范形. 5、(10分)求向量组,,,的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示. 6、(10分)求矩阵的特征值和其中一个特征值的特征向量. 7、(10分)判定实二次型是否正定. 8、(10分)求非齐次线性方程组的全部解 9、解矩阵方程:. 10、设向量组: .求向量组的一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示. 11,设矩阵, 试求的特征值和特征向量 12、将二次型 (1)化为标准型。
(2)写出所用的线性变换换矩阵; (3)写出该二次型的规范形 13,求非齐次线性方程组的全部解(用基础解系表示) 参考答案 一.填空(每小题5分,共20分) 1、3。 2、。 3、4。 4、 5、 6、无关 7、3 8、 9,答:. 10,答:,解得 11,答:。 12,答:2 13, 14,. 15,:;; 二、简答题(每题10分,共40分。以下各题,应写出解题步骤) 1、解:因为,,,所以,是正定矩阵。 2、解:。. 3、解:,即。 4、解:系数矩阵,对其进行初等行变换,得行阶梯形矩阵 , 因此,对应齐次线性方程组的一个基础解系为 。
通解为,其中为任意常数。 5, . 6,解:; ; 。 7,== 由最后一个矩阵可知:是一个极大无关组. 8,证明:令 即 由于线性无关,上式成立必有 由于系数行列式 齐次线性方程组只有零解,故必有,线性无关性即得证 9、解:解: ,因此向量组线性无关。 10、解: 11、解:,=2. 12,解:设有常数使得 成立,整理得: 由线性无关,故 因为,故上面的方程组(2)有非零解,因此存在一组不全为零的数使得(1)成立,从而线性相关 13,因为,所以;于是, . 14,因为A正定,所以其顺序主子式全大于零;于是 .得到. 15,当或时。
行列式,向量组线性相关。 三,解答题 1,(10分)解:设为的特征值,则的特征值为 ,得到, 则 2,(9分)解:系数矩阵为,对其进行初等行变换得到 ,对应同解方程组为 ,从而基础解系为,全部解为. 3,(10分)解:(1)矩阵的特征多项式为 ,令,得矩阵的全部特征值为,。 对于,解齐次线性方程组。其系数矩阵 ,进行行初等变换,得行阶梯形矩阵,因此方程组的一个基础解系为,属于特征值全部特征向量为,其中为任意非零常数。 对于,解齐次线性方程组。其系数矩阵 ,进行行初等变换,得行阶梯形矩阵,因此方程组的一个基础解系为,则属于特征值全部特征向量为,其中为任意非零常数。 4。
(11分)解: ,令 或 线性替换矩阵(即可逆线性变换矩阵)为, 标准形为,它就是规范形. . 5、(10分)解:令,对作初等行变换化为行阶梯形矩阵, 由最后一个矩阵可知:为一个极大无关组,且 6、(10分)解的特征方程 , 得的特征值为。 当时,解齐次线性方程组 可得它的一个基础解系为,所以所对应的全部特征向量为 ,这里为任意不为零的常数 当时,解齐次线性方程组 可得它的一个基础解系为,所以所对应的全部特征向量为 ,这里为任意不为零的常数 7、(8分)二次型的矩阵为,的各阶顺序主子式 ,,, 故正定。
8、(12分)解对该线性方程组的增广矩阵进行初等行变换,为 , 对应的方程组为,令得到该方程组的特解为, 令得到其对应的齐次线性方程组的基础解系为. 所以原方程组的全部解为 9,解: 10,解:, 由最后一个矩阵可知:是一个极大无关组,且 , 11、解:矩阵的特征多项式为, 令,得矩阵的全部特征值为,(二重)。 对于,解齐次线性方程组。其系数矩阵,进行行初等变换,得行阶梯形矩阵,因此方程组的一个基础解系为,则属于特征值全部特征向量为,其中为任意非零常数。 对于,解齐次线性方程组。其系数矩阵,进行行初等行变换,得行阶梯形矩阵,因此方程组的一个基础解系为。
则属于特征值全部特征向量为,其中为任意非零常数。 12、解: ,令 或 线性替换矩阵(即可逆线性变换矩阵)为, 标准形为,它就是规范形. 说明:也可以用初等变换的方法化为标准形,然后再化为规范形. 13,对增广矩阵进行初等行变换得到 ,对应同解方程组为,从而基础解系为,特解为,全部解为(其中).