【文章导读】1、行列式1.nn行列式共有nn2个元素，展开后有nn!项项，可分解为2nn行列式；2.代数余子式的性质：、AAijij和aaijij的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为AA；3.
【正文】
1、行列式1.nn行列式共有nn2个元素，展开后有nn!项项，可分解为2nn行列式；2.代数余子式的性质：、AAijij和aaijij的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为AA；3.代数余子式和余子式的关系：MMjjijij(1)iiAAijijAAjjijij(1)iiMMijij4.设nn行列式DD：nn(nn1)将DD上、下翻转或左右翻转，所得行列式为DD1，则DD1(1)2DD；nn(nn1)将DD顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为DD2，则DD2(1)2DD；将DD主对角线翻转后（转置），所得行列式为DD3。
则DD3DD；将DD主副角线翻转后，所得行列式为DD4，则DD4DD；5.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；nn(nn1)、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；nn(nn1)、和：副对角元素的乘积(1)2；、拉普拉斯展开式：AAOOBBAACCOOBBAABB、CCAABBOOOOAABBCC(1)mmnnCCAABB、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6.对于nn阶行列式AA，恒有：EEAAnnnn(1)kkSSkkkknn，其中SSkk为kk阶主子式；kk17.证明AA0的方法：、AAAA；、反证法；、构造齐次方程组AxAx0。
证明其有非零解；、利用秩，证明rr(AA)nn；、证明0是其特征值；2、矩阵1.AA是nn阶可逆矩阵：AA0（是非奇异矩阵）；rr(AA)nn（是满秩矩阵）AA的行（列）向量组线性无关；齐次方程组AxAx0有非零解；bbRRnn，AxAxbb总有唯一解；AA与EE等价；AA可表示成若干个初等矩阵的乘积；AA的特征值全不为0；1AATTAA是正定矩阵；AA的行（列）向量组是RRnn的一组基；AA是RRnn中某两组基的过渡矩阵；2.对于nn阶矩阵AA：AAAA*AA*AAAAEE无条件恒无条件恒成立；3.(AA1)*(AA*)1(ABAB)TTBBTTAATT(AA1)TT(AATT)1(ABAB)*BB*AA*(AA*)TT(AATT)*(ABAB)1BB1AA14。
矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均AA、BB可逆：AA1若AAAA2，则：AAss、AAAA1AA2AAss；AA111、AA11AA2；AAss1OO；（主对角分块）BB1BB1；（副对角分块）OOAA1CBCB1；（拉普拉斯）BB1OO；（拉普拉斯）BB1AA1AAOO、OOBBOOOOOOAA、1BBOOAAAA1AACC、OOBBOO111AA1AAOO、11CCBBBBCACA3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个mmnn矩阵AA，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：FFrrOO对于同型矩阵AA、BB，若rr(AA)rr(BB)AABB。
2.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0元素必须为1；、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若(AA,EE)(EE,XX)，则AA可逆，且XXAA1；、对矩阵(AA,BB)做初等行变化，当AA变为EE时，BB就变成AA1BB，即：(AA,BB)(EE,AA1BB)；、求解线形方程组：对于nn个未知数nn个方程AxAxbb，如果(AA,bb)(EE,xx)，则AA可逆，且xxAA1bb；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；rrrrEEOO。
OOmmnn等价类：所有与AA等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；cc21、2，左乘矩阵AA，乘AA的各行元素；右乘，乘AA的各列元素；iiiinn1111、对调两行或两列，符号EE(ii,jj)，且EE(ii,jj)1EE(ii,jj)，例如：1；1111111、倍乘某行或某列，符号EE(ii(kk)，且EE(ii(kk)EE(ii()，例如：kkkk111kk(kk0)；1kkkk111、倍加某行或某列，符号EE(ijij(kk),且EE(ijij(kk)1EE(ijij(kk)，如：1(kk0)；115.矩阵秩的基本性质：、0rr(AAmmnn)min(mm。
nn)；、rr(AATT)rr(AA)；、若AABB，则rr(AA)rr(BB)；、若PP、QQ可逆，则rr(AA)rr(PAPA)rr(AQAQ)rr(PAQPAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩可逆矩阵不影响矩阵的秩）、max(rr(AA),rr(BB)rr(AA,BB)rr(AA)rr(BB)；（）、rr(AABB)rr(AA)rr(BB)；（）、rr(ABAB)min(rr(AA),rr(BB)；（）、如果AA是mmnn矩阵，BB是nnss矩阵，且ABAB0，则：（）、BB的列列向量全部是齐次方程组AXAX0解（转置运算后的结论）；、rr(AA)rr(BB)nn、若AA、BB均为nn阶方阵，则rr(ABAB)rr(AA)rr(BB)nn。
6.三种特殊矩阵的方幂：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）列矩阵（向量）行矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；1aacc、型如01bb的矩阵：利用二项展开式；001二项展开式：(aabb)CCaaCCaabbCCaa注：、(aabb)nn展开后有nn1项；n(n1)(nm1)n!123mm!(nm)!mnnmnnn0nnnn1nnnn11mmnnnnmmbbCCmmnn11nn1nnaabbmmmmnnmmCCbbCCnnaabb；nnnnnnmm0nn、Cnm0nCnCn1、组合的性质：CCCmn1CCmnm1nCr0nrn2nrr1；rCnnCn1、利用特征值和相似对角化：7。
伴随矩阵：nn、伴随矩阵的秩：rr(AA*)10rr(AA)nnrr(AA)nn1；rr(AA)nn13、伴随矩阵的特征值：、AA*AAAA1、AA*AAAA(AXAXXX,AA*AAAA1AA*XXAAXX)；nn18.关于AA矩阵秩的描述：、rr(AA)nn，AA中有nn阶子式不为0，nn1阶子式全部为0；（两句话）、rr(AA)nn，AA中有nn阶子式全部为0；、rr(AA)nn，AA中有nn阶子式不为0；9.线性方程组：AxAxbb，其中AA为mmnn矩阵，则：、mm与方程的个数相同，即方程组AxAxbb有mm个方程；、nn与方程组得未知数个数相同，方程组AxAxbb为nn元方程；10.线性方程组AxAxbb的求解：、对增广矩阵BB进行初等行变换（只能使用初等行变换只能使用初等行变换）。
、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11.由nn个未知数mm个方程的方程组构成nn元线性方程：aa11xx1aa12xx2aa1nnxxnnbb1aaxxaaxxaaxxbb2nnnn2、211222；aamm1xx1aamm2xx2aanmnmxxnnbbnnaa11aa12aaaa22、21aamm1aamm2aa1nnxx1bb1aa2nnxx2bb2AxAxbb（向量方程，AA为mmnn矩阵，mm个方程，nn个未知数）aamnmnxxmmbbmm、aa1aa2xx1bb1xxbb2aann（全部按列分块，其中2）；xxnnbbnn、aa1xx1aa2xx2aannxxnn（线性表出）、有解的充要条件：rr(AA)rr(AA。
)nn（nn为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1.mm个nn维列向量所组成的向量组AA：1,2,mm构成nnmm矩阵AA(1,2,mm)；1TTTTTTTTTTmm个nn维行向量所组成的向量组BB：1,2,mm构成mmnn矩阵BB2；TTmm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关AxAx0有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出AxAxbb是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示AXAXBB是否有解；（矩阵方程）3.矩阵AAmmnn与BBllnn行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组AxAx0和BxBx0同解；(PP101例14)4.5.rr(AATTAA)rr(AA)。
(PP101例15)nn维向量线性相关的几何意义：、线性相关0；、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；4、,,线性相关,,共面；6.线性相关与无关的两套定理：若1,2,ss线性相关，则1,2,ss,ss1必线性相关；若1,2,ss线性无关，则1,2,ss1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若rr维向量组AA的每个向量上添上nnrr个分量，构成nn维向量组BB：若AA线性无关，则BB也线性无关；反之若BB线性相关，则AA也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组AA（个数为rr）能由向量组BB（个数为ss）线性表示，且AA线性无关，则rrss(二版PP74定理定理77)。
向量组AA能由向量组BB线性表示，则rr(AA)rr(BB)；（PP86定理定理33）向量组AA能由向量组BB线性表示AXAXBB有解；rr(AA)rr(AA,BB)（PP85定理定理22）向量组AA能由向量组BB等价rr(AA)rr(BB)rr(AA,BB)（PP85定理定理22推论推论）、矩阵行等价：AABBPAPABB（左乘，PP可逆）AxAx0与BxBx0同解、矩阵列等价：AABBAQAQBB（右乘，QQ可逆）；、矩阵等价：AABBPAQPAQBB（PP、QQ可逆）；对于矩阵AAmmnn与BBllnn：、若AA与BB行等价，则AA与BB的行秩相等；、若AA与BB行等价，则AxAx0与BxBx0同解。
且AA与BB的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵AA的行秩等于列秩；若AAmmssBBssnnCCmmnn，则：、CC的列向量组能由AA的列向量组线性表示，BB为系数矩阵；、CC的行向量组能由BB的行向量组线性表示，AATT为系数矩阵；（转置）齐次方程组BxBx0的解一定是ABxABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、ABxABx0只有零解BxBx0只有零解；、BxBx0有非零解ABxABx0一定存在非零解；设向量组BBnnrr:bb1,bb2,bbrr可由向量组AAnnss:aa1,aa2,aass线性表示为：（PP110题题1919结论结论）(bb1。
bb2,bbrr)(aa1,aa2,aass)KK（BBAKAK）ccrr8.方阵AA可逆存在有限个初等矩阵PP1,PP2,PPll，使AAPP1PP2PPll；9.10.11.12.其中KK为ssrr，且AA线性无关，则BB组线性无关rr(KK)rr；（BB与与KK的列向量组具有相同线性相关性的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：rrrr(BB)rr(AKAK)rr(KK),rr(KK)rr,rr(KK)rr；充分性：反证法）注：当rrss时，KK为方阵，可当作定理使用；13.、对矩阵AAmmnn，存在QQnnmm，AQAQEEmmrr(AA)mm、QQ的列向量线性无关；（PP87）、对矩阵AAmmnn。
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