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第31届全国中学生物理竞赛决赛试题及参考解答(Word精校版).doc

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物理奥赛辅导讲义——决赛真题系列第31届全国中学生物理竞赛决赛试题2014?杭州一、(12分)一转速测量和控制装置的原理如图所示。在O点有电量为Q的正电荷,内壁光滑的轻质绝缘细管可绕通过O点的竖直轴在水平面内转动,在管内距离O为L处有一光电触发控制开关A,在O端固定有一自由长度为L/4的轻质绝缘弹簧,弹簧另一端与一质量为m、带有正电荷q的小球相连接。开始时,系统处于静态平衡,细管在外力矩作用下作定轴转动,小球可在细管内运动。当细管转速ω逐渐变大时,小球到达细管的A处刚好相对于细管径向平衡,并触发控制开关,外力矩瞬时变为零,从而限制转速过大;同时O点的电荷变为等量负电荷Q.通过测量此后小球相对于细管径向平衡点的位置B。

可测定转速。若测得OB的距离为L/2,求:(1)弹簧系数k0及小球在B处时细管的转速;(2)试问小球在平衡点B附近是否存在相对于细管的径向微振动?如果存在,求出该振动的周期。Am,qOω图31决—1解析:(1)设小球在A点相对于细管平衡时,细管的角速度为ωA,则有:设小球在B点相对于细管平衡时,细管的角速度为ωB,则有:小球由A运动到B的过程中角动量守恒有:联立以上三式可解得:、(2)设小球在B点向外发生微小偏移x,则小球到O点的距离表示为,以细管为参考系,小球所受合力可表示为(以沿半径向外为正):另外,在发生偏移过程中角动量守恒有:联立两式有:将k0和ωB代入可知:。

则有:则小球在平衡点B存在相对于细管的径向微振动的周期为:二、(14分)多弹头攻击系统是破解导弹防御体系的有效手段。如图所示,假设沿某海岸有两个军事目标W和N,两者相距L,一首潜艇沿平行于该海岸线的航线游弋,并监视这两个目标,其航线离海岸线的距离为d.潜艇接到攻击命令后浮出海面发射一颗可分裂成多弹头的母弹,发射速度为v0(其大小远大于潜艇在海里游弋速度的大小),假设母弹到达最高点时分裂成三个分弹头,每个分弹头的质量相等,分离时相对原母弹的速度大小均为v,且分布在同一水平面内,分弹头1、2为实弹,分弹头3为迷惑对方雷达探测的假弹头。如果两个实弹能够分别击中军事目标W和N,试求潜艇发射母弹时的位置与发射方向。

并给出相应的实现条件。WNdv0L图31决—2WNdzxyOL/2L/2WNdL/2L/2OCαvtvtv0cosθxs6060xz解析:以WN连线中点为坐标原点,连线方向为x轴,垂直于海岸方向为z轴,竖直向上为y轴建立如图所示的坐标系,设潜艇发射母弹时的坐标为(x,0,d),发射仰角为θ,发射速度的水平分量与航线的夹角为α,则有母弹到达最高点所需时间为:,母弹在水平方向的射程为.分析可知,母弹在最高点分裂成的三个分弹头相对质心运动方向夹角均为120,弹头的运动可视为相对质心的运动和质心的运动。

另外,分析可知1、2分弹头必定同时击中目标,击中目标时同时质心落地,从分裂到落地所用时间也是t,此时质心落点必定在WN的垂直平分线上(C点),击中目标时各点位置关系如图所示。由图中几何关系可得:、、联立以上各式可得:,,,其中“+”表示朝海岸方向发射,“”表示背离海岸方向发射。上式成立的条件为:,,【另外】考虑质心落点C在陆地上时,有可解得:,同样地,“+”表示朝海岸方向发射,“”表示背离海岸方向发射;上式成立的条件为:,,三、(14分)如图所示,某绝热容器被二块装有阀门K1和K2的固定绝热隔板分隔成相等体积V0的三室A、B、C,VA=VB=VC=V0,容器左端用绝热活塞H封闭。

左侧A室装有n1=1mol单原子分子气体,处在压强为P0、温度为T0的平衡态;中段B室为真空;右侧C室装有n2=2mol双原子分子气体,测得其平衡态温度为TC=0.50T0.初始时刻K1和K2都处在关闭状态,然后系统依次经历如下与外界无热量交换的热力学过程:(1)打开K1,让VA中的气体自由膨胀到中段真空VB中;等待气体达到平衡态时,缓慢推动活塞H压缩气体,使得A室体积减小了30%(VA=0.70V0),求压缩过程前后,该部分气体的平衡态温度及压强;(2)保持K1开放,打开K2,让容器中的两种气体自由混合后共同达到平衡态,求此时混合气体的温度和压强;(3)保持K1和K2同时处在开放状态。

缓慢拉动活塞H,使得A室体积恢复到初始体积VA=V0,求此时混合气体的温度和压强。【提示】:上述所有过程中,气体均可视为理想气体,计算结果可含数值的指数或分式;根据热力学第二定律,当一种理想气体构成的热力学系统从初态(Pi,Ti,Vi)经过一个绝热可逆过程(准静态绝热过程)到达终态(Pf,Tf,Vf)时,其状态参数满足方程:其中,n1为该气体的摩尔数,CV1为它的定容摩尔热容量,R为普适气体常量。而当热力学系统由两种理想气体组成,则上述方程需修改为:图31决—3ABCHV0V0,T0/2V0,P0,T0K1K2n1,单原子分子n2,双原子分子真空解析:(1)压缩前A中气体经历绝热自由膨胀。

可知:,,绝热压缩过程满足:,将和代入以上各式可解得:,(2)气体混合的过程中能量守恒有:代入各结果可得:末态气体的克拉珀龙方程为:,A中气体初态的克拉珀龙方程为:将及各数据代入以上两式可解得:(3)混合气体的绝热指数为:将、、、代入上式可得:则拉动活塞过程满足:,将V4=3V0及各数据代入以上两式可解得:,【补充】混合气体绝热指数的证明<方法一>:考察由n1mol的气体A与n2mol的气体B组成的混合气体,其摩尔热容量分别为CV1、CV2、CP1、CP2,则混合气体的等容摩尔热容量为:混合气体的等压摩尔热容量为:则混合气体的绝热指数为:<。

方法二>:由可知:对上式进行变换有:,即:两边同时取e指数有:,即,其中考察绝热变化的泊松方程有:四、(20分)光纤光栅是一种介质折射率周期性变化的光学器件。设一光纤光栅的纤芯基体材料折射率为n1=1.51;在光纤中周期性地改变纤芯材料的折射率,其改变了的部分的材料折射率为n2=1.55;折射率分别为n2和n1、厚度分别为d2和d1的介质层相间排布,总层数为N,其纵向剖面如图(a)所示。在该器件设计过程中,一般只考虑每层界面的单次反射,忽略光在介质传播过程中的吸收损耗。假设入射光的真空中的波长为λ=1.06μm,当反射光相干叠加加强时,则每层的厚度d1和d2最小应分别为多少?若要求器件反射率达到8%。

则总层数N至少为多少?【提示】:如图(b)所示,当光从折射率n1介质垂直入射到折射率n2介质时,界面上产生反射和投射,有:,,n1n2n1n2n1n2n2d2d1d2d1d2d212345N层数折射率入射光反射光厚度图(a)入射光反射光透射光n1n2图(b)图31决—4解析:(1)分析可知,相邻两反射面上的反射光光程差为或者要使反射光干涉加强,每层介质最小厚度需满足:,解以上两式可得:,(2)设,,,当入射光场强为E0时,在第一反射面上反射后光场强为:在第二发射面上反射后光场强为:。

考虑到光在单层介质中传播相位还会改变π,则该反射光到达入射处时光场强变为:同理可知,在第三反射面上反射的光到达入射处时光场强变为:则,入射处的总光场强为:令,则有:由题意可知:,将代入上式可得:综上可知,反射总层数为21层。五、(20分)中性粒子分析器(NeutralParticleAnalyser)是核聚变研究中测量快离子温度及其能量分布的重要设备。其基本原理如图所示,通过对高能量(200eV~30KeV)中性原子(它们容易穿透探测区中的电磁区域)的能量和动量的测量,可诊断曾与这些中性原子充分碰撞过的离子的性质。为了测量中性原子的能量分布,首先让中性原子电离,然后让离子束以θ角入射到间距为d、电压为V的平行板电极组成的区域。

经电场偏转后离开电场区域,在保证所测量离子不碰到上极板的前提下,通过测量入射孔A和出射孔B间平行于极板方向的距离l来决定离子的能量。设A与下极板的距离为h1,B与下极板的距离为h2,已知离子所带电荷为q.(1)推导离子能量E与l的关系,并给出离子在极板内垂直于极板方向的最大飞行距离;(2)被测离子束一般具有发散角Δα(Δα<<θ),为了提高测量的精度,要求具有相同能量E,但入射方向在Δα范围内变化的离子在同一小孔B处射出,求h2的表达式,并给出此时能量E与l的关系;(3)为了提高离子能量的分辨率,要求具有量程上限能量的离子刚好落在设备允许的l的最大值lmax处,同时为了减小设备的体积。

在满足测量要求的基础上,要求极板间距d尽可能小,利用上述第(2)问的结果,求d的表达式,若θ=30,结果如何?(4)为了区分这些离子的质量,请设计后续装置,给出相应的原理图和离子质量表达式。ABVdθΔαh1h2极板探测区电离区中性原子离子图31决—5解析:(1)分析可知,离子在电场中做类抛体运动,在电场外做匀速直线运动,离子进入电场和离开电场时速度与下极板的夹角都是θ,设粒子进入电场时的初速度为v0,在电场中运动时间为t,则有:,,,联立以上各式可得:,(2)由上式中可得:由题意可知,当θ发生微小变化时l不变,即,由上式可得:将其代入E的表达式可得:(3)由(1)中结果可知,可得:由(2)中结果可知:,可解得:当θ=30时有:(4)让离子垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场,测出其轨迹半径R,则有:另外离子能量为:,联立两式可得:将代入上式有:六、(20分)超导体的一个重要应用是绕制强磁场磁体,其使用的超导线材属于第二类超导体。

如果将这类超导体置于磁感应强度为Ba的外磁场中,其磁力线将以磁通量子(或称为磁通涡旋线)的形式穿透超导体,从而在超导体中形成正三角形的磁通格子,如图(1)所示。所谓磁通量子,如图(2)所示,其中心是半径为ξ的正常态(电阻不为零)区域,而其周围处于超导态(电阻为零),存在超导电流,所携带的磁通量为(磁通量的最小单位)。(1)若,求此时磁通涡旋线之间距离a;(2)随着Ba的增大,磁通涡旋线密度不断增加,当Ba达到某一临界值Bc2时,整块超导体都变成正常态。假设磁通涡旋线芯的半径为,求所对应的临界磁场Bc2;(3)对于理想的第二类超导体,当有电流I通过超导带材时,在安培力的驱动下,磁通涡旋线将会粘滞流动。

在超导带内产生电阻(也称磁通流阻),从而产生焦耳损耗,不利于超导磁体的运行。磁通涡旋线稳定粘滞流动的速度v与单位体积磁通涡旋线所受到的驱动力fA和Ba的关系为,其中η为比例系数。外加磁场、电流方向,以及超导带材的尺寸如图(3)所示,请指出磁通涡旋线流动的方向,并求出磁通涡旋线流动所产生的电阻率(用Ba,Φ0,η,超导体尺寸b、c、d表示)(4)要使超导材料真正实用化,消除这种磁通流阻成了技术的关键,请给出你的解决方案。BaIcdb图3图2ξ图1aaa图31决—6解析:(1)分析可知,每个三角形中有0.5个磁通量子,则有:解上式可得:(2)分析可知。

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