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苏教版七年级下册数学整式的乘除与因式分解总复习知识点+习题.doc

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苏教版七年级数学下册整式的乘除与因式分解一、学习目标:1.掌握与整式有关的概念;2.掌握同底数幂、幂的乘法法则,同底数幂的除法法则,积的乘方法则;3.掌握单项式、多项式的相关计算;4.掌握乘法公式:平方差公式,完全平方公式。5..掌握因式分解的常用方法。二、知识点分析1、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数。的系数为,次数为,单独的一个非零数的次数是。2、多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。

,项有,二次项为,一次项为,常数项为,各项次数分别为,系数分别为,叫次项式。3、整式:单项式和多项式统称整式。注意:凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、多项式按字母的升(降)幂排列:按的升幂排列:按的降幂排列:按的升幂排列:按的降幂排列:5、同底数幂的乘法法则:(都是正整数)同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。例1.若,则a=;若,则n=.例2.若,则的值为。例3.设4x=8y1,且9y=27x1,则xy等于。6、幂的乘方法则:(都是正整数)幂的乘方,底数不变,指数相乘。如:幂的乘方法则可以逆用:即如:7、积的乘方法则:(是正整数)积的乘方。

等于各因数乘方的积。(=8、同底数幂的除法法则:(都是正整数,且同底数幂相除,底数不变,指数相减。如:9、零指数和负指数;,即任何不等于零的数的零次方等于1。(是正整数),即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。如:10、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。注意:①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。如:11、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,即(都是单项式)注意:①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。如:=12、多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。如:13、单项式的除法法则:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。

注意:首先确定结果的系数(即系数相除),然后同底数幂相除,如果只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式如:=14、多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。即:例1.(a-b)(2a+b)(3a2+b2);例2.[(a-b)(a+b)]2(a2-2ab+b2)-2ab.例3.已知x2+x-1=0,求x3+2x2+3的值.15、平方差公式:注意平方差公式展开只有两项公式特征:左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如:=16、完全平方公式:公式特征:左边是一个二项式的完全平方,右边有三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。注意:完全平方公式的口诀:首平方,尾平方,加上首尾乘积的2倍。17、三项式的完全平方公式:例1.利用平方差公式计算:.例2.广场内有一块边长为2a米的正方形草坪,经统一规划后,南北方向要缩短3米,东西方向要加长3米,则改造后的长方形草坪的面积是多少?例3.(1)求的值。(2),求xy的值。18、因式分解:常用方法:提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……A。

提公因式法:式子中有公因式时,先提公因式。例1.把分解因式.分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按的降幂排列,然后从两组分别提出公因式与,这时另一个因式正好都是,这样可以继续提取公因式.解:说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试.例2.把分解因式.分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式.解:=说明:由例2、例1可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了加法交换律,分组后,为了提公因式。

又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.B.公式法:根据平方差和完全平方公式分解因式C.配方法:分解因式说明:这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解.当然,本题还有其它方法,请大家试验.D.十字相乘法:(1).型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数之积;(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.因此,运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.例1.把下列各式因式分解:(1)(2)说明:此例可以看出。

常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同.例2.把下列各式因式分解:(1)(2)说明:此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同.例3.把下列各式因式分解:(1)(2)分析:(1)把看成的二次三项式,这时常数项是,一次项系数是,把分解成与的积,而,正好是一次项系数.(2)由换元思想,只要把整体看作一个字母,可不必写出,只当作分解二次三项式.(2).一般二次三项式型的因式分解大家知道,.反过来,就得到:我们发现。

二次项系数分解成,常数项分解成,把写成,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到,如果它正好等于的一次项系数,那么就可以分解成,其中位于上一行,位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.例4.把下列各式因式分解:(1)(2)说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数。

否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号.提高练习1.(2x2-4x-10xy)(  )=x-1-y.2.若x+y=8,x2y2=4,则x2+y2=.3.代数式4x2+3mx+9是完全平方式,则m=.4.5.若,则=。6.(-a+1)(a+1)(a2+1)= 。7.一个正方形的边长增加4cm,面积就增加56cm,原来正方形的边长为。8.(3+1)(32+1)(34+1)…(32008+1)-=。9.(1)(+3y)2-(-3y)2(2)(x2-2x-1)(x2+2x-1);    10.求(1-)(1-)(1-)…(1-)(1-)的值.11.已知x+=2。

求x2+,x4+的值.12.已知(a-1)(b-2)-a(b-3)=3,求代数式-ab的值.   13.若(x2+px+q)(x2-2x-3)展开后不含x2,x3项,求p、q的值.14.试说明(1)两个连续整数的平方差必是奇数(2)若a为整数,则能被6整除15.察下列各式(x1)(x+1)=x21(x1)(x2+x+1)=x31(x1)(x3+x2+x+1)=x41……(1)根据规律可得(x1)(xn1+……+x+1)=(其中n为正整数)(2)计算:(3)计算:9

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