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线性代数课后题答案_第五版全.doc

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第一章行列式1 第二章 矩阵及其运算17 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组36   第四章 向量组的线性相关性57  第五章相似矩阵及二次型86    第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:   (1);   解=2(4)3+0(1)(1)+118  0132(1)81(4)(1)=24+8+164=4.   (2); 解=acb+bac+cbabbbaaaccc=3abca3b3c3.  (3); 解=bc2+ca2+ab2ac2ba2cb2=(ab)(bc)(ca). (4).   解  =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yxy3(x+y)3x3 =3xy(x+y)y33x2yx3y3x3 =2(x3+y3)。

 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:   (1)1234;解逆序数为0 (2)4132;解逆序数为4:41,43,42,32. (3)3421;解逆序数为5:32,31,42,41,21.  (4)2413;解逆序数为3:21,41,43. (5)13(2n1)24(2n);   解逆序数为:  32(1个) 52,54(2个)  72,74,76(3个)  (2n1)2,(2n1)4,(2n1)6,,(2n1)(2n2)(n1个) (6)13(2n1)(2n)(2n2)2. 解逆序数为n(n1):   32(1个)  52。

54(2个)      (2n1)2,(2n1)4,(2n1)6,,(2n1)(2n2)(n1个)   42(1个)  62,64(2个)    (2n)2,(2n)4,(2n)6,,(2n)(2n2)(n1个)  3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解含因子a11a23的项的一般形式为(1)ta11a23a3ra4s,  其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42. 所以含因子a11a23的项分别是  (1)ta11a23a32a44=(1)1a11a23a32a44=a11a23a32a44,   (1)ta11a23a34a42=(1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42。

   4.计算下列各行列式:   (1); 解  .  (2);   解  . (3);   解 . (4). 解     =abcd+ab+cd+ad+1.   5.证明: (1)=(ab)3;  证明    =(ab)3. (2); 证明          .  (3);   证明   (c4c3,c3c2,c2c1得)   (c4c3,c3c2得) .  (4) =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d);  证明             =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d)。

  (5)=xn+a1xn1++an1x+an.  证明用数学归纳法证明. 当n=2时,,命题成立. 假设对于(n1)阶行列式命题成立,即   Dn1=xn1+a1xn2++an2x+an1, 则Dn按第一列展开,有    =xDn1+an=xn+a1xn1++an1x+an. 因此,对于n阶行列式命题成立. 7.设n阶行列式D=det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转,依次得   ,,, 证明,D3=D.   证明 因为D=det(aij),所以       . 同理可证  .   .  8。

计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):   (1),其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;   解 (按第n行展开)   =anan2=an2(a21).   (2);  解将第一行乘(1)分别加到其余各行,得   , 再将各列都加到第一列上,得 =[x+(n1)a](xa)n1. (3); 解根据第6题结果,有   此行列式为范德蒙德行列式.         .  (4);  解   (按第1行展开)  .   再按最后一行展开得递推公式   D2n=andnD2n2bncnD2n2,即D2n=(andnbncn)D2n2。

 于是. 而,  所以. (5)D=det(aij),其中aij=|ij|; 解aij=|ij|,       =(1)n1(n1)2n2. (6),其中a1a2an0. 解        .  8.用克莱姆法则解下列方程组: (1);  解因为 , ,, ,, 所以,,,.  (2). 解因为  ,   ,,   ,, ,  所以 ,,,,.  9.问l,m取何值时,齐次线性方程组有非零解?   解系数行列式为. 令D=0,得m=0或l=1.   于是,

当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解.   10.问l取何值时,齐次线性方程组有非零解?   解系数行列式为   =(1l)3+(l3)4(1l)2(1l)(3l)  =(1l)3+2(1l)2+l3. 令D=0,得l=0,l=2或l=3.  于是,当l=0,l=2或l=3时,该齐次线性方程组有非零解. 第二章 矩阵及其运算   1.已知线性变换: ,  求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换. 解由已知: , 故,   . 2.已知两个线性变换   ,,  求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换。

 解由已知  , 所以有.  3.设,,求3AB2A及ATB.  解   ,   .  4.计算下列乘积:   (1); 解. (2);   解=(13+22+31)=(10).  (3);   解. (4); 解.  (5);  解    =(a11x1+a12x2+a13x3a12x1+a22x2+a23x3a13x1+a23x2+a33x3)   .   5.设,,问: (1)AB=BA吗?  解ABBA.   因为,,所以ABBA.   (2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗?   解(A+B)2A2+2AB+B2。

 因为,  , 但,   所以(A+B)2A2+2AB+B2.   (3)(A+B)(AB)=A2B2吗?   解(A+B)(AB)A2B2. 因为,, , 而,   故(A+B)(AB)A2B2.   6.举反列说明下列命题是错误的:  (1)若A2=0,则A=0;   解取,则A2=0,但A0.  (2)若A2=A,则A=0或A=E; 解取,则A2=A,但A0且AE. (3)若AX=AY,且A0,则X=Y.  解取   ,,,   则AX=AY,且A0,但XY. 7.设,求A2,A3,,Ak. 解,   。

  ,   .  8.设,求Ak. 解首先观察  , , ,   , , .  用数学归纳法证明:   当k=2时,显然成立.   假设k时成立,则k+1时,     ,  由数学归纳法原理知: .  9.设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BTAB也是对称矩阵. 证明因为AT=A,所以  (BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,  从而BTAB是对称矩阵.   10.设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.   证明充分性:因为AT=A,BT=B,且AB=BA。

所以  (AB)T=(BA)T=ATBT=AB,   即AB是对称矩阵.   必要性:因为AT=A,BT=B,且(AB)T=AB,所以  AB=(AB)T=BTAT=BA.   11.求下列矩阵的逆矩阵: (1);   解.|A|=1,故A1存在.因为  , 故. (2); 解.|A|=10,故A1存在.因为   ,   所以.   (3);   解.|A|=20,故A1存在.因为  ,  所以. (4)(a1a2an0).  解,由对角矩阵的性质知 . 12.解下列矩阵方程: (1); 解. (2)。

   解      . (3);   解     . (4).  解 .  13.利用逆矩阵解下列线性方程组:  (1);   解方程组可表示为 ,  故,   从而有. (2).  解方程组可表示为  , 故,   故有. 14.设Ak=O(k为正整数),证明(EA)1=E+A+A2++Ak1. 证明因为Ak=O,所以EAk=E.又因为 EAk=(EA)(E+A+A2++Ak1),  所以(EA)(E+A+A2++Ak1)=E, 由定理2推论知(EA)可逆,且 (EA)1=E+A+A2++Ak1。

   证明一方面,有E=(EA)1(EA).   另一方面,由Ak=O,有  E=(EA)+(AA2)+A2Ak1+(Ak1Ak)  =(E+A+A2++Ak1)(EA), 故(EA)1(EA)=(E+A+A2++Ak1)(EA),   两端同时右乘(EA)1,就有   (EA)1(EA)=E+A+A2++Ak1.   15.设方阵A满足A2A2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A1及(A+2E)1.   证明由A2A2E=O得   A2A=2E,即A(AE)=2E,  或, 由定理2推论知A可逆,且.  由A2A2E=O得  A2A6E=4E。

即(A+2E)(A3E)=4E, 或  由定理2推论知(A+2E)可逆,且.    证明由A2A2E=O得A2A=2E,两端同时取行列式得 |A2A|=2, 即|A||AE|=2, 故|A|0, 所以A可逆,而A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|20,故A+2E也可逆. 由A2A2E=OA(AE)=2E   A1A(AE)=2A1E,  又由A2A2E=O(A+2E)A3(A+2E)=4E   (A+2E)(A3E)=4E, 所以(A+2E)1(A+2E)(A3E)=4(A+2E)1, . 16.设A为3阶矩阵,,求|(2A)15A*|。

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