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高考数学复习(二十五)数列求和的3种方法—分组转化、裂项相消和错位相减.docx

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高考达标检测(二十五)数列求和的3种方法—分组转化、裂项相消和错位相减一、选择题1.(2017扬州调研)已知数列{a}的前n项和为S,并满足:annn+2=2an+1-a,na=4-a,则S=()537A.7C.14B.12D.21解析:选C由an+2=2an+1-a知数列{a}为等差数列,由a=4-ann532=14、得a+a=4=a+a,所以S=531771+a72。

(2017安徽江南十校联考)在数列{a}中,ann+1-a=2,S为{a}的前nnnn项和.若S=50,则数列{a+a10nn+1}的前10项和为()A.100C.120B.110D.130解析:选C{a+ann+1}的前10项和为a+a+a+a+…+a+a=2(a+a1223101112+…+a)+a-a=2S+102=120、故选C、10111103.(2017安溪质检)数列{a}的前n项和为S,已知S=1-2+3-4+…+nnn(-1)n-1n。

则S=()17A.9C.17B.8D.16解析:选AS=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-174+5)+(-6+7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9、1anan+11004.已知等差数列{a}的前n项和为n项和为()aSS,=5,=15,则数列的前n55A、100101B、99101C、99100D、101100解析:选A设等差数列{a}的首项为a。

公差为d、n1∵a=5,S=15,552a1=1,a1+4d=5,∴5a+1-d=15,∴d=1,∴a=a+(n-1)d=n、n1∴1nn+1aann+1=1+11=-,1aa100101223100项和为1-+-+…+=101∴数列的前100、nn+11111111015。

对于数列{a},定义数列{ann+1-a}为数列{a}的“差数列”,若a=2,nn1{a}的“差数列”的通项公式为2n,则数列{a}的前2016项和Snn2016=()A.22017-2C.22017B.22017-1D.22017+1解析:选A由题意知an+1-a=2n,则a-a=2n-1,annn-1n-1-an-2=2n-2,…,a-a=22,a-a=2,累加求和得a-a=2n-1+2n-2+…+22+2=3221n1-2n-11-2=2n-2。

n≥2,又a=2,所以a=2n,则数列{a}的前2016项和S1nn2016=-220161-2=22017-2,故选A、6.已知数列{a}满足ann+2-an+1=an+1-a,n∈N.,且a=n5π2,若函数f(x)=2xsin2x+2cos2,记y=f(a),则数列{y}的前9项和为()nnnA.0C.9B.-9D.12解析:选C由已知可得,数列{a}为等差数列。

f(x)=sin2x+cosx+1,nπ∴f=1、∵f(π-x)=sin(2π-2x)+cos(π-x)+1=-sin2x-cosx+1,∴f(π-x)+f(x)=2,∵a+a=a+a=…=2a=π,∴f(a)+…+f(a)1928519=24+1=9,即数列{y}的前9项和为9、n二、填空题7.(2016陕西一检)已知数列{a}中,a=2,a=a+1,an12nn2n+1=n-a,则n{a}的前100项和为.n解析:由a=2,a=a+1,

a12nn2n+1=n-a,得a+an2n2n+1=n+1,∴a+(a+12a)+(a+a)+…+(a+a)=2+2+3+…+50=1276,∵a=1+a=1+(13459899100501-x+a)=2+(12-a)=14-(1+a)=13-(1+a)=12-(1-a)=13,∴a+a25126311+…+a=1276+13=1289、100答案:12898.1+2x+3x2+…+nxn-1=(x≠0且x≠1).解析:设S=1+2x+3x2+…+nxn-1。

①n则xS=x+2x2+3x3+…+nxn,②n①-②得:(1-x)S=1+x+x2+…+xn-1-nxnn1-xn=-nxn,2∴S=n1-xn-2-nxn1-x、答案:1-xn-2-nxn1-x9.已知数列{a}中,a=1,an1n+1=(-1)n(a+1),记S为{a}的前n项和,nnn则S2017=、解析:由a=1。

a1n+1=(-1)n(a+1)可得,na=-2,a=-1,a=0,a=1,a=-2,a=-1,…,234567故该数列为周期是4的数列,所以S2017=504(a+a+a+a)+a12341=504(-2)+1=-1007、答案:-1007三、解答题10.(2017西安八校联考)设等差数列{a}的前n项和为S,已知a=-3,nn5S=-40、10(1)求数列{a}的通项公式;n(2)若从数列{a}中依次取出第2,4,8,…,

2n,…项,按原来的顺序排成一n1-2个新数列{b},求数列{b}的前n项和T、nnn解:(1)∵a=a+4d=-3,51S=10a+45d=-40,101解得a=5,d=-2、1∴a=-2n+7、n(2)依题意,b=a=-22n+7=-2n+1+7,n2n故T=-(22+23+…+2n+1)+7nn22-2n+12=-+7n=4+7n-2n+2、11.已知递增的等比数列{a}的前n项和为S,a=64,且a,a的等差中项nn645为3a、3(1)求数列{a}的通项公式。

n(2)设b=nna2n-1,求数列{b}的前n项和T、nna1q5=64,a1=2,解:(1)设等比数列{a}的公比为q(q>0),n由题意,得a1q3+a1q4=6a1q2,解得q=2,所以a=2n、n=n(2)因为b=nan2n-122n-1,223252722n-11234n所以T=++++…+n,4n232527n2n-122n+11123n-1nT=+++…++。

4n223252722n-122n+1311111n所以T=++++…+-4n2n122n+143322n+19922n+19922n-1111-=-1-24+3n=-,816+12n84+3n故T=-=-、n12.(2017云南统检)设S为数列{a}的前n项和,已知a=2,对任意n∈nn1N.,都有2S=(n+1)a、nn(1)求数列{a}的通项公式;n(2)若数列的前2an4+n1n项和为T。

求证:≤T<1、nn解:(1)因为2S=(n+1)a,nn当n≥2时,2Sn-1=nan-1,两式相减,得2a=(n+1)a-nannn-1,即(n-1)a=nann-1,所以当n≥2时,n=n-1,所以n=1=2,即a=2n(n≥2).aann-1aan1n因为a=2也符合上式,所以a=2n、1n(2)证明:由(1)知a=2n,n令b=nan4+n。

n∈N.,=1nn+1所以b=n4++11=-、nn+1223=1-+-+…+-=1-、因为1n+1n+1所以T=b+b+…+bn12n111111n+11>0,所以1-<1、221显然当n=1时,T取得最小值、n1所以≤T<1、n

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