《线性代数》习题集（含答案）新整理

【文章导读】线性代数习题集线性代数习题集（含答案）第一章填空题二阶行列式。二阶行列式。二阶行列式。三阶行列式。三阶行列式。答案：；；；；。选择题若行列式，则

线性代数习题集 《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1）二阶行列式=。 （2）二阶行列式=。 （3）二阶行列式=。 （4）三阶行列式=。 （5）三阶行列式=。 答案：1.ab(ab)；2.1；3.；4.；5.4abc。 【2】选择题 （1）若行列式=0，则x=（）。 A3；B2；C2；D3。 （2）若行列式，则x=（）。 A1，；B0，；C1，；D2，。 （3）三阶行列式=（）。 A70；B63；C70；D82。 （4）行列式=()。 A；B；C；D。 （5）n阶行列式=（）。 A0；Bn！；C（1）n！；D。 答案：1.D；2.C；

3.A；4.B；5.D。 【3】证明 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135（2n1）246（2n）；（2）246（2n）135（2n1）。 答案：（1）n（n1）；（2）n（n+1） 【6】确定六阶行列式中。

下列各项的符号： （1）；（2）；（3） 答案：（1）正号；（2）负号。 【7】根据定义计算下列各行列式： （1）；(2)；（3）； （4） 答案：（1）5！=120；（2）； （3）；（4）。 【8】计算下列行列式： （1）；（2）；（3）； （4）。 答案：（1）136；（2）48；（3）12； （4）（ba）（ca）（da）（cb）（db）（dc） 【9】计算下列n阶行列式： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）。 答案：（1）1+；（2）1；（3）n！ （4）2n+1；（5）。 【10】计算下列行列式： （1）；（2）（n阶）； （3）；

（4）。 答案：（1）n=2时，行列式等于；n≥3，行列式为0； （2）；（3）； （4） 【11】计算n+1阶行列式： （0；i=1，2，n） 答案：. 【12】解下列线性方程组： （1）；（2）。 答案：（1）； (2). 【13】计算n阶行列式 于是 【14】证明 由归纳假设，得 【15】计算五阶行列式 可以得到 【16】证明 证明：略 【17】.证明 答案与提示： 提示将左边行列式按定义写成和的形式，再由和函数乘积的微分公式即得右边。 【18】.计算n阶行列式： （1）； （2）。 答案与提示： （1） （2） 【19】。

利用拉普拉斯定理计算下列行列式： （2）； （3）； （4） 答案与提示： （2）；（3） （4） 【20】.证明下列等式： （1）； （2）。 答案与提示： （1）提示：将左边行列式展开可得递推公式，由此递推公式可得结论。 （2）提示：用归纳法证。 【21】 【22】 . 第二章 【1】填空题设A是三阶方阵，是A的伴随矩阵，A的行列式=，则行列式。 【2】假设A=（）是一个n阶非零矩阵，且A的元素（i，j=1，2，，n）均为实数。已知每一个元素都等于它自己的代数余子式，求证A的秩等于n，且当n3时=1或1。 【3】判断下列结论是否成立：若成立。

则说明理由；若不成立，则举出反例。 （1）若矩阵A的行列式=0，则A=0； （2）若=0，则A=E； （3）若A，B为两个n阶矩阵，则； （4）若矩阵A0，B0，则AB0. 【4】设A，B为n阶方阵，问下列等式在什么条件下成立？ （1）； （2）； 【5】计算AB和ABBA。已知 （1）， （2），。 答案：（1），； （2）， ； 【6】计算下列矩阵乘积： （1）；（2）（x，y，1）。 答案：（1）；（2）。 【7】计算，并利用所得结果求。 答案：提示：用数学归纳法可证。当时，。 故 【8】已知A，B是n阶对称矩阵，证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。

【9】已知A是一个n阶对称矩阵，B是一个n阶反对称矩阵，证明 （1），都是对称矩阵；（2）ABBA是对称矩阵；（3）AB+BA是反对称矩阵。 【10】求矩阵X，已知： （1）； （2） 答案：（1）；（2） 【11】已知矩阵A，求A的逆矩阵; (1),其中adbc=1；（2）； （3）； 答案：（1）；（2）； （3） 【12】在下列矩阵方程中求矩阵X： （1）； （2）； 答案：（1）；（2） 【13】证明若一个对称矩阵可逆，则它的矩阵也对称。 【14】假设方阵A满足矩阵方程，证明A可逆，并求。 答案：提示：由。 【15】填空题 （1）设矩阵A=，则= （2）设A是3阶数量矩阵。

且=27，则= （3）设A是4阶方阵，且=2，则A的伴随矩阵的 行列式= 答案：（1）；（2）； （3）8 【16】选择题 （1）设A是n阶方阵，且满足等式，则A的逆矩阵是 （A）AE；（B）EA；（C）；（D）。 （2）设A，B是n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 A、；B、 C、；D、 （3）设A，B，C为n阶方阵，且ABC=E，则必成立的等式为 A、ACB=E;B、CBA=E;C、BAC=E;D、BCA=E （4）设A，B为n阶对称矩阵，m为大于1的自然数，则必为对称矩阵的是 A、；B、；C、AB;D、。 （5）设A，B，A+B，均为n阶可逆矩阵，则（）等于 A、。

B、A+B；C、；D、。 （1）C；（2）B；（3）D；（4）A；（5）C 【17】求下列矩阵的秩 （1）；（3） （4）。 答案：（1）r（A）=2；（2）r（A）=2；（3）r（A）=3；（4）r（A）=2； 【18】求下列矩阵的标准形 （1）；（2）。 答案：（1）；（2）。 【19】假设方阵A满足方程，其中a，b，c是常数，而且C≠0，试证A是满秩方阵，并求出其逆矩阵。 【20】选择题 （1）设矩阵A=，且r（A）=2，则t等于 A、6；B、6；C、8；D、t为任何实数。 （2）设A是3阶方阵，若=0，下列等式必成立的是 A、A=0；B、r（A）=2；C、=0。

D、 （3）设A是mn矩阵，且m<n，则必有 A、；B、；C、；D、。 答案：（1）D；（2）C；（3）B。 【21】求下列矩阵的逆矩阵： （1）；（2）。 答案：（1）；（3）。 【22】假设B是n阶可逆矩阵，C是m阶可逆方阵。试证明分块矩阵是可逆方阵，并且用表示分块矩阵。 答案：提示：由拉普拉斯展开定理，得、，故A是可逆矩阵。由逆矩阵定义，得。 【23】已知三阶方阵A=（）与任意三阶方阵B之积可交换：AB=BA，证明A是数量矩阵。 【24】设4阶矩阵 B=C= 且矩阵A满足等式。其中E为4阶单位矩阵，求矩阵A。 于是 【25】（00403）设，矩阵，n为正整数，则= 【26】（04404）。

【27】（04404）设是实正交矩阵，且=1，b=，则线性方程组Ax=b得解是。 【28】（04104） 。 【29】（00203）设A==. 【30】（94503）设A,B都是n阶非零矩阵，且AB=0,则A和B得秩（） A.必须有一个等于零B.都小于nC.一个小于n，一个等于nD.都等于n 第三章 【1】 【2】 【3】（95508）设三阶矩阵A满足，其中列向量.试求矩阵A. 【4】（97306）设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量，b为常数。记分块矩阵其中是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵。 （1）计算并化简: 证明：矩阵可逆的充分必要条件是. 【5】（98104）设A是n阶矩阵。

若存在正整数k，使线性方程组有解向量，且.证明：向量组是线性无关的. 【6】（01408）设是n维实向量，且线性无关.已知是线性方程组 的非零解向量.试判断向量组得线性相关性。 【7】（96408）设向量是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，即.试证明：向量组线性无关. 【8】（04313）设，试讨论为何值时， 1.不能由线性表示; 2.可以由唯一地线性表示，并求出表示式。 3.可以由线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。 答案与提示： 1.当=0时，不能由线性表示。 2.当，且时，可以由唯一地线性表示。 当时可以由线性表示，但表示式不唯一，其表示式为。

【9】（05290）确定常数，使向量组可由向量组线性表示，=1时向量组不能由向量组线性表示。 【10】（00303）设A为n阶实矩阵.为的转置矩阵，则对于线性方程组和，必有（）。 A.的解是的解，的解也是的解 B.的解是的解， 但的解不是的解 C.的解不是的解，的解也不是的解 D.的解是的解，但的解也不是的解 【11】（98407）已知下列非齐次线性方程组， （1）求解方程组，用其导出组得基础解系表示通解； （2）当方程组中得参数m,n,t为何值时，方程组与同解。 答案与提示： （1）方程组得通解为（k为任意常数）. 当时，方程组同解。 【12】（99409）已知线性方程组 （1）a。

b,c满足何种关系时，方程组仅有零解？ （2）a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。 答案与提示： （1）当时，，方程仅有零解 （2）下面分四种情况： 1、当时，方程组有无穷多组解，全部解为（为任意常数） 2、当时，方程组有无穷多组解，全部解为（为任意常数） 3、当时，方程组有无穷多组解，全部解为（为任意常数） 4、当a=b=c时，方程组有无穷多组解，全部解为 【13】（03313）3B已知齐次线性方程组 其中讨论和满足何种关系时， （1）方程组仅有零解； （2）方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 答案与提示： （1）当且时。

秩方程组仅有零解. 当时，方程组有非零解，基础解系为. 【14】（96403）3B设 ，，， 其中.则线性方程组的解是. 【15】（02106，02206）3B已知4阶方阵均为4维列向量，其中线性无关，.如果，求线性方程组的通解. 方程组的通解为，为任意实数. 【16】（04413）3B设线性方程组 已知是该方程组的一个解，试求 （1）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （2）该方程组满足的全部解. 答案与提示： （1）方程组的全部解为 （2）时，方程组的全部解为 【17】 【18】 【19】 【20】 【21】 【22】 【23】 【24】 【25】 【26】 【27】 【28】 【29】 【30】设A是n阶方阵。