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笔试数学系统班理论精讲--数与代数6.pdf

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20202020教师招聘理论精讲教师招聘理论精讲 数与数与代数代数6 6 主讲主讲::吴倩吴倩 检验下听课效果 4.在等差数列an中,若a3+a4+ a5+a6+a7=450,则a2+a8的值是( ) A.45 B.75 C.180 D.300 检验下听课效果 5.等差数列an的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d=() A.7 B.6 C.3 D.2 三、等比数列的基本性质 选+填+解 若三个数a,b,c成等比数列,则b2=ac b2ac是成等比数列的必要而不充分条件。(如:a0,b0,c1) 若m+n=p+q, 则am an=ap aq,特别地,若m+n=2p,则am an=ap2。

1、 若an为等比数列,则am,am+k,am+2k,仍为等比数列,公比为qk。 检验下听课效果 2. 一个有穷等比数列的首项为1,项数为偶数,如果其奇数项的和为85,偶 数项的和为170,求此数列的公比和项数。 检验下听课效果 2. 一个有穷等比数列的首项为1,项数为偶数,如果其奇数项的和为85,偶 数项的和为170,求此数列的公比和项数。 解:设所求等比数列的公比为q,项数为2n, 由于S偶S奇,所以q1。 又S奇1(1 2) 12 85,S偶2(1 2) 12 170, 所以 偶 奇 2 2 1 ,将q2代入S奇,可得2n8。 所以这个数列的公比为2,项数为8。 检验下听课效果 3. 设等差数列an的公差d不为0。

2、a1=4d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于 ( ) A1B. 3C. 5D. 7 检验下听课效果 4. 设a, b, c, x, yR,且x, y0,x是a, b的等差中项,y是b, c的等差中项,若a, b, c成等比数列,那么 + 的值为( ) A1B. 2C. 3D. 4 第三节第三节 数列综合数列综合 一 二 求数列an的通项 求数列前n项和 一、求数列an的通项 解 ((一一))公式法公式法 当已知Sn=f(n)时,直接运用公式an= 1, = 1 1, 2求解。 =2 2 检验下听课效果 1. 已知数列 的前n项和为Sn,= 1 3 (1 ),nN* (1)求数列 的通项公式。

3、 一、求数列an的通项 解 ((二二))累加法累加法 当已知an+1= an+ f(n)时,运用累加法。 检验下听课效果 4. 已知数列an满足a1=3,an+1= an+2n, (1)求an的通项公式an; 检验下听课效果 4. 已知数列an满足a1=3,an+1= an+2n, (1)求an的通项公式an; -1=21+22+23++21 一、求数列an的通项 解 ((三三))累乘法累乘法 当已知+1 =f(n)时,运用累乘法。 已知数列an满足+1 = (n N), a1= 1, 求an 一、求数列an的通项 解 ((四四))待定系数构造法待定系数构造法 当已知an+1=pan+ f(n)(p为常数)时。

4、运用构造法。构造成等差数列或者等 比数列来求解。 第一个类型: f(n)为常数,即an+1=pan+ q 方法:an+1-t=p(an-t), t = 1, 首项:a1-t;公比:p 一、求数列an的通项 解 ((四四))待定系数构造法待定系数构造法 已知数列an的首项a1=a,( a为常数), an+1=2an+1(n N*,n 1), 求 an。 an+1-t=2(an-t) an+1=2an-t,故t=1 an+1+1=2(an+1) 令bn=an+1,则b1=a+1,q=2 bn=(a+1)2n-1 an=bn-1=(a+1)2n-1-1 一、求数列an的通项 解 ((四四))待定系数构造待定系数构造法法 第二个类型: f(n)不为常数。

5、即an+1=pan+ f(n) an+1=2an+3n an+1+ 3n+1=2(an+ 3n) an+1=2an- 3n,故 =-1 an+1-3n+1=2(an-3n) bn=an-3n 检验下听课效果 2. 设数列an的前项和Sn,已知a1=a,an+1=Sn+3n,nN*,设bn= Sn-3n,求 数列bn的通项公式。 一、求数列an的通项 解 ((五五))倒数倒数法法 检验下听课效果 第一步:读题判断,发现是求通项,这是判断是否是特殊数列,不是 就看是属于五种类型里面的那一种; 第二步:就是套用类型了。 = 3 2 2 2 an+1=3an+ 1 +1= 4 +2 二、求数列前n项的和 解 Tn a1 a2 a3 an ((一一))公式法公式法 主要用于等差或者等比数列。

6、直接套用公式。 ((二二))分组化归法分组化归法 主要用于无法整体求和的数列,可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的 数列分别进行求和,再综合求出所有项的和。 an2nn 等差数列求和:等差数列求和:Sn=(1+) 2 等比数列求和:等比数列求和:Sn= 1, = 1 1(1) 1 = 1 1 , 1 二、求数列前n项的和 解 ((三三))错位相错位相减减法法 用于求anbn型的数列,其中an为等差数列,bn是公比为q的等比数列, 只需用Sn-qSn便可转化为等比数列的求和,但要注意讨论q=1和q1两种情况。 ann2n Tn1 212 223 23 n 2n ann2n 第一步:展开前n项和 Tn1 212 223 23 n 2n 第二步:左右两边同乘公比 2Tn1 222 233 24 n 2n1 第三步:上述两式作差。

7、以右式为前提 -Tn 1 21 1 221 231 24 1 2n-n 2n1 第四步:观察各项,等比数列求和完成 -Tn=2(12 ) 12 -n 2n1= 2n1-2- n 2n1 Tn(n1)2n12 检验下听课效果 4. 已知数列an满足a1=3,an+1= an+2n, (1)求an的通项公式an; (2)若bn=nan,求数列bn的前n项和Sn。 检验下听课效果 5. 已知各项均为正数的数列 的前n项和为Sn,首项为a1,且Sn=2 an-1 2。 (1)求数列 的通项公式; (2)若bn=log4 1 ,设cn= ,求数列 的前n项和Tn。 二、求数列前n项的和 解 ((四四))裂项相消法裂项相消法 此方法主要针对 1 12 + 1 23 + + 1 1这样的求和。

8、其中an是等差数列。 bn= 1 +1 ,求前n项和 bn= 1 +1 ,求前n项和 第一步:通项展开 bn= 1 +1 =1 1 +1 第二步:求和公式展开运算 Tn 1 1(1+1) + 1 2(2+1) 1 1 + 1 +1 = 1 1 1 2+ 1 2 1 3+ 1 1 1 +1 1 +1 =1- 1 +1 bn = 1 +3 = bn= 1 +1= 1 ( 1 1 +1) bn = 1 +3 =1 3( 1 1 +3) 6. 设数列an为等差数列,且a2=5,a4=9。 (1)求数列an的通项公式; (2)设bn= 1 +1,求数列bn的前n项和。

9、

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