正弦定理和余弦定理整理版

2021-04-25 12:52:15本页面

正弦定理和余弦定理整理版


【正文】

1.1正弦定理和余弦定理,1.1.1正弦定理,第一章解三角形,高中新课程数学必修,第一课时,问题提出,3.对于直角三角形,我们可利用上述原理进行有关计算.对于一般三角形中边和角的关系,我们需要建立相关理论进行沟通,这是一个有待探究的课题.,2.三角形是最基本的几何图形,许多与测量有关的实际问题,都要通过解三角形来解决.如船在航行中测量海上两个岛屿之间的距离;飞机在飞行中测量一座山顶的海拔高度;在地面上测量顶部或底部不可到达的建筑物的高度;测量在海上航行的轮船的航速和航向等.,正弦定理,知识探究(一):正弦定理的形成,思考2:将上述关系变式,边长c有哪几种表示形式?由此可得什么结论?,思考3:可变形为。

在锐角ABC中,该等式是否成立?为什么?,思考4:若C为钝角,是否成立?若A为钝角,是否成立?若B为钝角,是否成立?,思考5:在任意三角形中,同理可得,,因此有该连等式称为正弦定理.如何用文字语言描述正弦定理?,在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比相等.,知识探究(二):正弦定理的向量证明,思考2:若A为锐角,过点A作单位向量i,使i,则向量i与,,的夹角分别是什么?,思考3:由可得什么结论?,思考4:若A为钝角,上述推理过程有什么变化?所得结论如何?,思考5:若证明,应如何作单位向量i?,理论迁移,例1在ABC中,已知A=32.0,B=81.8,a=42.9cm,解三角形.,C=66.2,b80。

1cm,c74.1cm.,例2在ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40,解三角形.,例3在ABC中,已知a=60cm,b=50cm,A=38,解三角形.,sinB0.8999,B64,C=76,c30cm;或B116,C=24,c13cm.,sinB0.5131,B31,C=111,c91cm,小结作业,1.三角形的三个内角及其对边叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.,2.正弦定理的外在形式是公式,它由三个等式组成即,,每个等式都表示三角形的两个角和它们的对边的关系.,3.利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题:一类是已知两角和一边解三角形;另一类是已知两边和其中一边的对角解三角形。

对于第二类问题,要注意确定解的个数.,作业:P4练习:1,2.,1.1正弦定理和余弦定理,1.1.1正弦定理,第二课时,问题提出,1.正弦定理的外在形式和数学意义分别是什么?,在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比相等.,2.在解三角形中,利用正弦定理可以解决哪两类问题?,已知两角和一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形.,3.在正弦定理中,有什么几何意义?利用正弦定理可以得到哪些相关结论?这需要我们作进一步了解和探究,加深对正弦定理的理性认识.,正弦定理的拓展,3.在正弦定理中,,3.在正弦定理中,,探究(一):正弦定理的几何意义,3.在正弦定理中,,3.在正弦定理中,,思考2:如图。

作ABC的外接圆,你能构造一个一条直角边长为a,其对角大小为A的直角三角形吗?,思考3:设ABC的外接圆半径为R,则等于什么?,思考4:如图,若A为钝角,上述结论还成立吗?,若A为直角呢?,探究(二):正弦定理的变式拓展,思考1:在三角形中有“大边对大角”原理,如何利用正弦定理进行理论解释?,思考2:利用等比定理,正弦定理可作哪些变形?,思考3:利用正弦定理如何求三角形的周长?,思考4:设ABC的外接圆半径为R,则其面积公式可以作哪些变形?,思考5:在ABC中,设A的平分线交BC边于点D,则(角平分线定理),你能用正弦定理证明这个结论吗?,理论迁移,例1在钝角ABC中,已知AB=,AC=1,B=30。

求ABC的面积.,例2在ABC中,已知,sinB=sinC,且ABC的面积为,求c边的长.,例3在ABC中,已知acosB=bcosA,试确定ABC的形状.,等腰三角形,例4在ABC中,已知,求角A的值.,120,小结作业,1.正弦定理是以三角形为背景的一个基本定理,它不仅可以用来求三角形的边角值,而且可以在三角变换中实现边角转化,是解决三角形问题的一个重要工具.,2.正弦定理的应用具有一定的灵活性,在处理三角形的边角关系时,利用a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,可达到化边为角的目的.,3.正弦定理不是万能的,如已知三角形的三边长,利用正弦定理就不能求出三个内角,因此我们还

欲知后事如何,且听下回分解.,作业:P10习题1.1A组:2.B组:2.,1.1正弦定理和余弦定理,1.1.2余弦定理,第一课时,问题提出,1.正弦定理的外在形式是什么?其数学意义如何?,在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比相等,且等于外接圆直径.,2.若已知三角形的两边及其夹角或已知三边,能否用正弦定理解三角形?,3.对于上述问题,需要建立一个新的数学理论才能解决,这是我们要研究的课题.,余弦定理,探究(一):余弦定理的推导,思考1:根据平面几何中两个三角形全等的判定定理,确定一个三角形可以是哪些条件?,边、角、边,角、边、角,边、边、边,思考2:在ABC中,已知边a,b和角C,从向量的角度考虑。

可以求出什么?,c,思考3:c边的长即为,向量与,有什么关系?,思考4:如何将转化为c与a,b,C的关系?,思考5:根据上述推导可得,,此式对任意三角形都成立吗?,思考6:如图所示建立直角坐标系,点A,B的坐标分别是什么?根据两点间的距离公式可得什么结论?,A(bcosC,bsinC),B(a,0),思考7:通过类比,a2,b2分别等于什么?,思考8:上述三个等式称为余弦定理.如何用文字语言描述余弦定理?,三角形中任何一边的平方,等于其他两边的平方和,减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍.,探究(二):余弦定理的变式,思考2:已知三角形的三边a,b,c,求三内角A,B,C,其计算公式如何?,思考3:上述三个公式是余弦定理的推论。

如何通过三边的大小关系判断A是锐角、直角还是钝角?,思考4:若已知边a,b和角A,能直接用余弦定理求边c吗?,思考5:结合正弦定理,可作什么变形?,理论迁移,例1在ABC中,已知b=60cm,c=34cm,A=41,解三角形.,a21676.82,a41cm,sinC0.544,C33,B106.,例2在ABC中,已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形.,cosA0.5543,A5620,cosB0.8398,B3253,C9047.,例3在ABC中,已知a=,b=,B=30,求边长c的值.,4,例4已知ABC的周长为20,A=30,a=7,求这个三角形的面积.

小结作业,1.余弦定理及其推论,把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的原理,从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式.,2.余弦定理的主要作用是已知两边一角求边,或已知三边求角,所得结论是唯一的.同时,利用余弦定理也可以实现边角转化.,3.余弦定理及其推论共有六个基本公式,应用时要注意适当选取,有时可结合正弦定理求解.,作业:P8练习:1,2.,1.1正弦定理和余弦定理,1.1.2余弦定理,第二课时,知识整理,1.余弦定理的外在形式和数学意义分别是什么?,三角形中任何一边的平方,等于其他两边的平方和,减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍.,2.在三角形的六个基本元素中,已知哪三个元素可以解三角形?。

3.针对上述类型,分别用哪个定理求解为宜?,已知一边两角:正弦定理;,已知两边及夹角:余弦定理;,已知两边及对角:正弦定理;,已知三边:余弦定理.,一边两角,两边一角,三边.,应用举例,例1在ABC中,已知(sinAsinC)(sinAsinC)sinB(sinBsinC),求角A的值.,120,例2在ABC中,已知ac2b,B30,面积为,求b的值.,例3在ABC中,已知C30,求的值.,例4在ABC中,求证:,例5在ABC中,求证:,例6在ABC中,求证:,小结作业,1.以三角形为背景求值或证明三角等式,是三角变换中的两个基本问题,活用正、余弦定理,从整体进行变形和运算,是解题的基本思想.

,2.利用正、余弦定理化边为角,或者化角为边,是处理三角形中三角变换问题的基本策略,是实现三角运算与代数运算相互转化的主要手段.,作业:P10习题1.1A组:3.,

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