线性代数复习题答案定稿

【文章导读】第页线性代数复习题答案使用不熟练因此有些东西写不出来（打的我快吐了）。答案仅供参考，错误在所难免，会数学的同学帮忙校验一下吧。祝大家门门考试全通过。一、计算排列的逆序数。解：在排列中排在首位，逆序数为；的前面比大的数有一个，故逆序数为；是最大数，逆序数为；

7 JasonTestarossa 第7页 2021102 线性代数复习题答案 WORD使用不熟练因此有些东西写不出来（打的我快吐了..）。答案仅供参考，错误在所难免，会数学的同学帮忙校验一下吧。祝大家门门考试全通过。 一、计算排列76843521的逆序数。 解：在排列76843521中 7排在首位，逆序数为0； 6的前面比6大的数有一个7，故逆序数为1； 8是最大数，逆序数为0； 4的前面比4大的数有7、6、8，故逆序数为3； 3的前面比3大的数有7、6、8、4，故逆序数为4； 5的前面比5大的数有7、6、8，故逆序数为3； 2的前面比2大的数有7、6、8、4、3、5，故逆序数为6。

1的前面比2大的数有7、6、8、4、3、5、2，故逆序数为7； 于是这个排列的逆序数为t=0+1+0+3+4+3+6+7=24 二、计算下列n阶行列式的值： D= 解： =n1[a+(n1)b] 三、设,，E为三阶单位矩阵，求矩阵。 解：∵AX=2X+E ∴（A2E）=E 又A2E= 由于(A2E|E)= ∴X= （类题：已知,用初等变换法求A的逆矩阵。） A1=*A* |A|=（3*1*3）+（2*5*3）+（1*3*2）（3*5*2）（2*3*3）（3*1*1） =9+30+630183 =6 A*= A1= 四、当为何值时非齐次线性方程组 。

有唯一解、无解、无穷多组解？并在有无穷多解时求其通解。 解：因系数矩阵A为方阵，故方程有唯一解的充分必要条件是系数行列式|A|≠0 |A|==（+1）（2）2 因此，当≠1且≠2时，方程组有唯一解。 当=1时， B= 知R(A)=2，R(B)=3，故方程组无解。 当=2时， B= 知R(A)=R(B)=1，故方程组有无限多个解，且通解为： （C∈R） 类题：当为何值时非齐次线性方程组 （本人表示打公式真费劲，所以照搬原始课件版，另一种解法见上题。） 有唯一解、无解、无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。 解： 其通解为 这时又分两种情形： 五、设。

求。 解：AT= ATB== 六、（10分）设 （1）求A的秩。（2）求A的一个最高阶非零子式。 解： 因为行阶梯形矩阵有2个非0行，所以R（A）=2 A的行阶梯形矩阵记A=（a1,a2,a3,a4），则矩阵A0=（a1,a2）的行阶梯形矩阵为 知R（A0）=2，故A0中必有2阶非零子式，计算A0的前二行构成的子式 因此这个子式便是A的一个最高阶非零子式。 =（1）2+1*2=2≠0 七、求下列非齐次线性方程组的通解。 解：对增广矩阵B进行初等变换 B= 由于R(A)=R(B)=1，故方程组有解，且有 ∴方程组的通解为： 其中x2。

x4任意。 （类题：求下列非齐次线性方程组的通解。 ） 解：对增广矩阵B进行初等变换 B= 由于R(A)=R(B)=2，故方程组有解，且有 ∴方程组的通解为： 其中x2，x3，x4任意。 八、已知向量组（1）求该向量组的秩。（2）求该向量组一个极大线性无关组。 解：A= 可见R(a1,a2,a3)=2，向量组a1,a2,a3线性相关，同时可见R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关，因此a1,a2是向量组a1,a2,a3的一个最大无关组。 此外由R(a1,a3)=2及R(a2,a3)=2可知a1,a3和a2,a3都是向量组a1,a2，a3的最大无关组。

（类题：已知向量组 a)求该向量组的秩。（2）求该向量组一个极大线性无关组。） 解：A= 可见R(a1,a2,a3，a4)=2，向量组a1,a2,a3,a4线性相关，同时可见R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关，因此a1,a2是向量组a1,a2,a3,a4的一个最大无关组。 第7页共7页