卷五╱线性代数试卷定稿

【文章导读】卷七一填空题（每小题分，共分）．设行列式其代数余子式则．设矩阵和分别按列分块为和，且，则行列式设则设满足其中为单位矩阵为的伴随矩阵则设满足其中是阶单位阵则设且可用线性表出则设线性方程组有无穷多组解则设阶矩阵的元素全为则的个特征值是设都是阶方阵且已知是不可逆矩阵

卷七 一.填空题（每小题4分，共40分） 1．设行列式,其代数余子式,则. 2．设矩阵和分别按列分块为和，且，，则行列式. 3.设,则. 4.设满足,其中,为单位矩阵,为的伴随矩阵,则. 5.设满足,其中是3阶单位阵,则. 6.设,且可用线性表出,则. 7.设线性方程组有无穷多组解,则. 8.设阶矩阵的元素全为1,则的个特征值是. 9.设都是3阶方阵,且.已知是不可逆矩阵,且,则一个与相似的对角矩阵为. 10.已知二次型通过正交变换化为标准形,则. 二(10分).已知向量组 .求:(1)取何值时,不能用线性表出? (2)取何值时,可用线性表出?并写出此表示式. 三（10分）。

设有线性方程组.已知是它的一个解.求该线性方程组的通解. 四（10分）.已知矩阵的逆矩阵为,求其伴随矩阵的逆矩阵. 五（10分）.设矩阵有一个二重特征根,求的值.并判别是否可以对角化? 六（12分）.设.求正交矩阵和对角矩阵,使得 七（8分）．设是矩阵，是矩阵，证明：若，则 参 一．填空题（每题4分，共40分.） 1．设行列式,其代数余子式,则1. 2．设矩阵和分别按列分块为和，且，，则行列式. 3.设,则. 4.设满足,其中,为单位矩阵,为的伴随矩阵,则. 5.设满足,其中是阶单位矩阵,则。

6.设,且可用线性表出,则. 7.设线性方程组有无穷多组解,则. 8.设阶矩阵的元素全为1,则的个特征值是. 9.设都是3阶方阵,且.已知是不可逆矩阵,且,则一个与相似的对角矩阵为. 10.已知二次型通过正交变换化为标准形,则2. 二(10分).已知向量组.求:(1)取何值时,不能用线性表出? (2)取何值时,可用线性表出?并写出此表示式. 解设.对增广矩阵施行初等行变换: 所以 (1)当时,线性方程组无解,此时不能由线性表出. (2)当时,线性方程组有惟一解,即 . 当时,线性方程组有无穷多组解,即 . 三（10分）.设有线性方程组已知向量是它的一个解.

求该线性方程组的通解. 解代入已知解,求得 对方程组的增广矩阵施行初等行变换: , (1)当时,方程组有无穷多组解,求得其通解为: . (2)当时,上述方程组的增广矩阵经初等行变换化为: 方程组有无穷多组解,且为 为常数. 四（10分）.已知阶矩阵的逆矩阵为,求其伴随矩阵的逆矩阵. 解由知,.只要求出和. 用初等行变换.因为 . 所以 五(10分).设矩阵有一个二重特征根,求的值.并判别是否可以对角化? 解. (1)若有根,代入后易求得,这时是的二重特征值.由于的秩为1,因此有两个线性无关的特征向量,故可以对角化. (2)若有重根,则 . 这时的特征值为。

对二重特征值,有 其秩为2,此时不可以对角化. 六(12分).设.求正交矩阵和对角矩阵,使得 解的特征多项式为 . 的特征值为. 当时,解方程组,得两个线性无关的特征向量为,将其正交规范化为 当时,解线性方程组,求出一个特征向量为,将其单位化,得. 令,为正交矩阵,且 七(8分)．设是矩阵，是矩阵，证明：若，则 证因为矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 因为,所以由的行秩等于的秩知,有个行向量线性无关. 于是存在阶可逆矩阵,使. 其中是阶可逆矩阵. 因为进行一系列初等行变换,可以把个线性无关的行向量移到矩阵的上部构成,而其余个行向量,由于可以由上部的个线性无关的行向量线性表出。

于是经过初等行变换均可化为.从而有 因此有 7