线性代数练习册答案终稿

【文章导读】学院班级学号姓名第一章行列式二、三阶行列式及阶行列式的定义部分知识概要内容概要：二阶行列式的定义：三阶行列式的定义：阶行列式阶行列式是项的代数和；每一项是取自不同行不同列的个元素的乘积（是的一个排列）；当是偶排列时带正号当是奇排列时带负号常用解题方法及注意事项：

学院班级学号姓名 第一章行列式 二、三阶行列式及阶行列式的定义部分知识概要 内容概要： 1.二阶行列式的定义：. 2.三阶行列式的定义： . 3.阶行列式 （1）阶行列式是项的代数和；（2）每一项是取自不同行不同列的个元素的乘积（是的一个排列）；（3）当是偶排列时,带正号,当是奇排列时,带负号. 常用解题方法及注意事项： 1.求排列的逆序数：（按自然数的从小到大次序为标准次序） 的一个排列的逆序数记为.其中是前面比大的数的个数. 2.确定行列式中的项及符号： （1）中的项是取自不同行不同列的个数的乘积，因此，行下标和列下标都没有重复数字；（2）将中的因子交换顺序使行下

即，该项符号为. 二、三阶行列式及阶行列式的定义部分习题 1.计算下列二阶行列式 （1）；（2）； （3）；（4）. 2.计算下列三阶行列式 （1）；(2)； （3）； 3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）；（2）. （3） 4.确定，使6元排列为奇排列. 5.写出4阶行列式中含有的项. 6.按定义计算下列行列式： （1）；（2）. 7.求的展开式中和的系数. 行列式的性质与展开部分知识概要 内容概要： 行列式的性质 1。

行列式与其转置行列式相等(即). 2.交换行列式的两行(或列),行列式改变符号（即）. 3.行列式中某行(或列)的公因子可以提到行列式符号外面做因子. （即（或） 4.阶行列式可以按第行(或列)拆成两个行列式与的和，即.其中的第行(或列)为与的第行(或列)的和；，，的其余各行(或列)对应元素则同的完全一样. 5.把行列式某一行(或列)的元素同乘一数后加到另一行(或列)的对应位置元素上,行列式的值不变.（即或） 行列式的展开 1.阶行列式的某行（或列）元素与对应元素的代数余子式乘积之和为. 2.行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为0. 即 常用的解题方法及注意事项： 行列式的计算： 1。

（1）利用性质将行列式化为三角形行列式（三角形行列式的值等于对角线元素之积）. （2）利用依行、依列展开转化为低阶行列式的计算（或给出递推公式、或利用数学归纳法）. （3）化简与展开同时进行（先化简，再按零较多的行（或列）展开）. 行列式化简时注意 1.尽量避免分数运算；2.展开时注意代数余子式与余子式相差的的符号. 行列式的性质与展开部分习题 1.计算下列行列式： （1）；(2)； （3）；（4）. （5）. 2.证明： （1）； （2）. 3。

计算阶行列式 （1）=；（2）. 4.利用范德猛行列式计算： . 克拉默法则部分知识概要 内容概要： 1.设个变量，个方程的线性方程组为 如果该线性方程组的系数行列式，则方程组有唯一解： . 其中是中第列换成常数项其余各列不变得到的行列式， 即：=,． 2.设齐次线性方程组为 （1）如果系数行列式，则该齐次线性方程组只有零解；（2）如果该齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式． 常用解题方法及注意事项： 1.用克拉默法则解线性方程组； 2.利用系数行列式是否为零来判断齐次线性方

注意： 克拉默法则只适合方程个数与未知量个数相同，且系数行列式不为零的线性方程组的求解. 克拉默法则部分习题 1.用克拉默法则解线性方程组 （1）； （2）. 2.当为何值时，齐次线性方程组 (1)仅有零解；(2)有非零解． 第一章自测题与答案 第一章自测题 一.判断题（每题3分，共15分） 1..() 2.在四阶行列式中，的余子式与代数余子式互为相反数.() 3.则.（） 4.,则.（） 5..（） 二.填空题（每题4分，共16分） 1.已知，则. 2.已知，则. . 3.

由行列式确定的多项式中的系数分别为. 4.. 三.计算下列行列式（各10分，共40分） 1.；2.； 3.；4.. 四．（10分）设为阶行列式，,（为非零数）, 1.讨论的关系；2.讨论的关系. 五.（10分）,求. 六.（7分）设齐次线性方程组为 用克拉默法则解讨论应取何值时，方程组(1)仅有零解；(2)有非零解． 第一章自测题答案 一．1.错；2.对；3.错；4.错；5.对. 二．1.；2.；3.；4.. 三.1.；2.； 3.

； 4.各列加到第一列上，然后提取公因式 . 四．1.；2.. 五.. 六.系数行列式. （1）；（2）或. 第二章矩阵及其运算 矩阵的运算部分知识概要 内容概要： 1.矩阵的线性运算 （1）加法：两同型矩阵与的和矩阵为. （2）数乘法：数与矩阵的数量乘积矩阵. 2.矩阵乘法运算 （1）矩阵称为矩阵与的乘积. 其中（）. (2）为阶方阵的次幂，特别规定. (3）（为数）为方阵的多项式. 3.矩阵的转置 以的行为列，列为行构成的矩阵为的转置矩阵. 是阶方阵，如果，称为对称矩阵；如果，称为反对称矩阵. 4.方阵的行列式 以阶方阵的元素构成的行列式称为方阵的行列式。

记为或. 常用解题方法及注意事项： 利用运算定义和运算律进行运算. 注意（ⅰ）第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时两矩阵乘积才有意义. （ⅱ）由于乘法没有交换律，在进行两个矩阵乘积时，矩阵因子的顺序不能变. （ⅲ）矩阵的乘法不满足消去律.即且，不一定有；且，不一定有.特别地，且，不一定有. （ⅳ）我们在做多个矩阵乘积时经常使用乘法结合律. （ⅴ）分别是矩阵，则. （ⅵ）只有方阵才定义行列式；矩阵是数表，行列式是数值，这是它们之间的本章区别. 矩阵的运算部分习题 1.已知，且,求. 2.计算 （1）,求，,及. （2）. （3），求。

（4） 3.,,求及. 4.，,，求及 5.已知三个线性替换为 ，， 求从到的线性替换. 6.如果,则称矩阵与可交换,求与可交换的矩阵具有的形式. 其中当时. 7.如果,证明:当且仅当. 8.设都是阶对称矩阵，证明：仍是对称矩阵当且仅当. 9.设维列向量满足，, 证明：1）是对称矩阵；2）. 10.已知是3阶方阵,且,计算(1)；(2)；(3)。

可逆矩阵部分知识概要 内容概要： 1.设是阶方阵,如果存在阶方阵，使得，称为可逆矩阵，称为的一个逆矩阵. 2.可逆矩阵的逆矩阵唯一. 3.设,称由以的第行元素在中的代数余子式为第列元素构成的矩阵为的伴随矩阵. 4.设是阶方阵，是的伴随矩阵，则. 5.阶方阵是可逆的充分必要条件为.而且. 6.可逆矩阵具有如下运算性质： （ⅰ）是阶可逆矩阵，的逆矩阵也可逆，且； （ⅱ）是阶可逆矩阵，是非零数，则可逆，且； （ⅲ）都是阶可逆矩阵,那么也可逆,且； （ⅳ）是阶可逆矩阵,也可逆，且； （ⅴ）是阶可逆矩阵，都是矩阵，且,则。

是阶可逆矩阵，都是矩阵，且,则. 常用解题方法及注意事项：（设是阶方阵） 1.利用求可逆矩阵的逆矩阵：（适用于具体给定的数字矩阵求逆） 2.利用定义证明矩阵可逆，或求满足给定方程的矩阵的逆矩阵： 找到阶方阵，使得，则可逆，且. 注意的第列元素是的第行元素在的代数余子式； 的第行元素是的第列元素在的代数余子式. 可逆矩阵部分习题 1.求下列矩阵的逆矩阵： （1）；（2）； (3)；(4). 2.设,求矩阵使得. 3.设满足,其中,求. 4.设是阶方阵,且满足,利用定义证明:可逆，并求. 5。

设是阶方阵,且（为正整数），利用定义证明：可逆，且 6.设是3阶方阵，且,求(1)；（2）；（3）. 分块矩阵及其运算部分知识概要 内容概要： 用若干条横线和纵线将矩阵分成若干小矩阵，以小矩阵为元素的矩阵表示形式称为分块矩阵.我们将这些小块称为矩阵的子块. 1加法对两个矩阵,进行同样分块，则为对应块相加得到的分块矩阵； 2数乘法设是一个矩阵，是一个数，将为由数乘每个子块矩阵得到的分块矩阵； 3乘法设,，将分块为 ，，则.其中为矩阵，为矩阵，. 4转置设是一个矩阵，将分块为 ，则. 常用解题方法及注意事项： 1。

利用分块矩阵表示矩阵或进行矩阵运算只是为了表达简便.分块矩阵的运算与普通数字元素的运算法则和运算律是类似的； 2.第一个矩阵列的分块方式与第二个矩阵行的分块方式必须相同，即列数必须等于的行数，这时两分块矩阵的乘积才有意义； 3.由于矩阵乘法没有交换律，作分块矩阵乘法时，一定要注意子块的前后顺序不能换.即上面的绝对不能写成. 4.分块矩阵的转置不仅要将子块为元素构成的矩阵看成普通矩阵进行转置，还要将每块转置. 分块矩阵及其运算部分习题 1.将,进行适当分块，并计算. 2.,都是阶方阵，其中为矩阵，为零矩阵，为矩阵，为矩阵，求,及. 3。

设阶矩阵和阶矩阵都可逆，求 （1）；（2）. 4.利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵 （1），求；（2），求. 第二章自测题与答案 第二章自测题 一判断题（每题3分，共15分） 1.是阶方阵，如果,且,则；（） 2.是阶方阵,则；（） 3.是阶方阵,且可逆，，则；（） 4.都是阶方阵，则；（） 5.都是阶方阵，满足,且可逆，则.（） 二.填空题（每题4分，共20分） 1.=（1，1，2）,则,=,=； 2.已知，，且, 则=. 3.，，则； 4.设,则； 5.是3阶方阵,是2