线性代数 向量组的秩_三九文库

2021-08-14
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【文章导读】向量空间特征值和特征向量二次型运筹学(分数比例约为%)线性规划整数规划动态规划参考书目:《高等数学讲义》(第二篇数学分析)樊映川编著(本书可网上购买)或其他包含内容的高等数学教材《线性代数》胡显佑四川人民(本书可网上购买)或其他包含内容的线性代数教材《运筹学》(

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【正文】

1、 向量空间5. 特征值和特征向量6. 二次型c. 运筹学(分数比例约为10%)1. 线性规划2. 整数规划3. 动态规划 参考书目:1. 《高等数学讲义》(第二篇数学分析)樊映川编著 (本书可网上购买)或其他包含内容a的高等数学教材2. 《线性代数》胡显佑四川人民 (本书可网上购买)或其他包含内容b的线性代数教材3. 《运筹学》(修订版) 年《运筹学》教材编写组 (本书可网上购买)或其他包含内容c的运筹学教材02数学基础ⅱ考试时间:3小时考试形式:客观判断题 考试内容和要求:a. 概率论(分数比例约为50%)1. 概率的计算、条件概率、全概公式和贝叶斯公式2. 随机变量的数字特征,特征函数;3. 联合分布律、边际分布函数及边际概率密度的计算4. 大数定律及其应用5. 条件期望和条件方差6. 混合型随机变量的分布函数、期望和方差等b. 数理统计(分数比例约为35%)1. 统计量及其分布2. 参数估计3. 假设检验4. 方差分析5. 列联分析c. 应用统计(分数比例约为15%)1. 回归分析2. 时间序列分析(移动平滑。

2、都可以表示成某些向量的线性组合,这样在解答几何问题时,就可以先把已知和结论表示为向量的形式,然后通过向量的运算,达到解题的目的.(2)在解具体问题时,要适当地选取基底,使其他向量能够用基底来表示.选择了不共线的两个向量e?、?e?,平面上的任何一个向量?a?都可以用?e?、?e?唯一表示为?a?=???e?+???e?,这样几何问题就转化 为代数问题,转化为只含有?e?、?e?的代数运算.12要点二:向量的夹角已知两个非零向量?a?与?b,在平面上任取一点?o,作?oa??? ???b,则?? ?????(00??????? ?)资料来源于网络?仅供免费交流使用精品文档?用心整理????叫做?
掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法.五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量.2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.六、二次型第 6 页考试内容合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性考试要求1.掌握二次型及其矩阵表示。
掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4.理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念.5.会用初等行变换求解线性方程组.五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量.2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似对角矩阵.3.理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念。线性代数 向量组的秩

3、向量不同于数量,它是一种新的量,关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此,本章在介绍向量概念时,重点说明了向量与数量的区别,然后又重新给出了向量代数的部分运算法则,包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后,又将向量与坐标联系起来,把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来,这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”,内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发,抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数量的区别。

4、系数矩阵a的作用仅仅是用来由已知向量产生向量,这不仅可充分利用a的稀疏性,而且对某些提供矩阵a较为困难而由已知向量产生向量又十分方便的应用问题是很有益的;不需要预先估计任何参数就可以计算,这一点不像sor等;每次迭代所需的计算,主要是向量之间的运算,便于并行化。 收敛性分析将共轭梯度法作为一种迭代法,它的收敛性怎样呢?这是本节下面主要讨论的问题:定理5.  如果而且,则共轭梯度法至多迭代步即可得到方程组的精确解。证明 注意到蕴含着子空间的维数不会超过,由定理5. 即知定理的结论成立。定理证毕定理 表明,若线性方程组( )的系数矩阵与单位相关一个秩的矩阵,而且很小时,则共轭梯度法将会收敛得很快。
[证明]若有一组数满足则对一切一定有注意到,由此得出:即所有的=0.因此,是线性无关的.性质2 设向量是线性无关的向量组,则可通过它们的线性组合得出一组向量,而是两两共轭的.[证明]我们用构造法来证实上面的结论.s0:取;s1:令,取.……sm:令取 容易验证:符合性质2的要求.性质3设是两两a-共轭的,是任意指定的向量,那么从出发,逐次沿方向搜索求的极小值,所得序列,满足:.[证明]由下山算法可知,从出发,沿方向搜索,获得从而性质4设是两两a共轭的,则从任意指定的出发,依次沿搜索,所得序列满足:(1)(2),其中是方程组( )的解.[证明](1)是性质3的直接推论,显然成立.(2)由于是两两
理解不定积分和定积分的概念. 2.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法. 3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分. 4.理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿-莱布尼茨公式. 5.了解反常积分的概念,会计算反常积分. 6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值.四、向量代数和空间解析几何第 2 页考试内容向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积 向量的混合积

5、故是线性无关的.所以对于向量可用线性表出,即存在一组数使由于及,得出,于是,再由得出于是,与得出一样地,我们可以陆续得出:对比和的表达式可知,证明完毕性质4是性质3的直接推论.但它给出了一种求(5.1.1)的算法,这种算法称之为共轭方向法.结合性质2,我们可以得到如下的性质5.性质5设是上的一组线性无关的向量,则从任意指定的出发,按以下迭代产生的序列:s1:取,,;s2:计算,取;计算,得出;如此进行下去,直到第n步:sn:计算取计算,得出.显然:根据性质4可知,不论采用什么方法,只要能够构造个两两a共轭的向量作为搜索方向,从任一初始向量出发,依次沿两两a共轭的方向进行搜索,经步迭代后,便可得
主要探究用向量方法解决平面几何问题.三、教学目标重点: 用向量方法解决平面几何问题的基本方法和基本步骤.难点:如何构建向量模型将平面几何问题化归为向量问题.知识点:运用向量方法解决平面几何问题三步曲.能力点:发展创新意识,提高转化与化归能力.教育点:通过对新方法的探求,渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点.自主探究点:三角形四心的向量表示.考试点:利用向量的几何意义进行向量的线性运算与数量积运算.易错易混点:向量基底的选择.拓展点:利用向量证明有关不等式.四、教具准备三角板、圆规、多媒体五、教学过程复习引入【师生活动】我们学习了向量的线性运算与数量积运线性代数 向量组的秩

6、而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题,在这一章,我们将学习向量的概念、运算及其简单应用。这一节课,我们将学习向量的有关概念。向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量(物理学中常称为矢量)(而把那些只有大小,没有方向的量如:年龄、身高长度、面积、体积、质量等,称为数量。物理学中常称为标量)注意:1?数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。(二)向量的几何表示(引入:?由于实数与数轴上的点一一对应,所以数量常常用数轴上的一个点表示,而且不同的点表示不同的数量。)对于向量,我们常用带箭头的线段——

7、证明:(1)对于任意正实数,是正定矩阵;(2)对于任意正整数,是正定矩阵;(3)是正定矩阵;(4)的伴随矩阵也是正定矩阵.12. 判别下列二次型是否正定:(1);(2);(3);( . 如下列二次型是正定的,求的取值范围:(1);( . 设是实对称矩阵,证明:当实数充分大之后,是正定矩阵.15. 设是一个阶实对称矩阵,且,证明:必存在实维向量,使.16. 证明:是半正定的.习题八(b)用非退化的线性替换化下列二次型为标准形:(1);( . 设实二次型,证明:的秩等于矩阵的秩.3. 设的正惯性指数为,秩为,证明:.4.设是一实二次型,若有实维向量使证明:必存在实维向量,使.5. 设是一个阶实对称
不豫(预)则废。更方便的研究呢?思路?2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢?这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解?.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论?推进新课新知探究提出问题图?1①给定平面内任意两个不共线的非零向量? ,请你作出向量? .平面内的任一向量是否都可以用形如?λ +λ ?的向量表示呢?②如图?1。
也涉及“角”,而且只与向量 有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义 =|a|| θ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的

8、向量线性运算的综合应用[探究问题]→ →1.若存在实数 λ,使ab=λbc,则 三点的位置关系如何?提示: 三点共线.2.向量共线定理有哪两个方面的应用?提示:(1)判断两个向量共线,若存在一个实数 λ,使 b=λ ),则 a 与 b共线.(2)表示两个共线向量之间的关系.若a 与 b 共线( )则必存在一个实数λ.使 b=λa.3.向量共线定理应注意什么?提示:向量共线定理不包含 0 与 0 共线的情况,因为 .定理中 不能漏掉.若 ,实数λ 仍然存在,但λ 是任意实数,不唯一;若 ,则不存在实数 λ,使 b=λa.已知非零向量 e ,e 不共线. → → →
其中是给定的阶对称正定矩阵,是给定的维向量,是待求的维向量。为此,我们定义二次泛函?????????????????? ( )定理 设对称正定,求解方程组等价于求二次泛函的极小点。证明 直接计算可得令,则有若在某点处达到极小,则必有,从而有,即是方程组的解。反之,若是方程组的解,即 于是对任一向量有注意到a的正定性,则,因此,即是泛函的极小点。定理证毕这样,求解线性方程组的问题就转化为求二次泛函的极小点的问题。求二次函数的极小值问题,通常的做法就好象盲人下山那样,先任意给定一个初始向量,确定一个下山的方向,沿着经过点而方向为的直线找一个点使得对所有实数有也就是说,在这条直线上,使达到极小。然后从出发。线性代数 向量组的秩

9、称为数学模型。生产过程模型是用来描述一个过程的输入向量(包括控制向量和扰动向量)、状态向量和输出向量(通常是被控向量)之间的数学关系式。1、过程建模原理在工业生产过程建模中,必须十分强调建模的一般原理,即质量与能量的守恒定理,因为任何工业生产过程都遵守这一自然规律。 对于一个工业生产过程的动态模型,一般都由一个或多个微分方程与一个或多个代数方程组合在一起来表示。其中微分方程一般是常微分方程[ )],有时也用偏微分方程[ )]来表示,在工程中应用的大多数为常微分方程。工业过程的动态模型通常应用在非稳定状态下,用物料与能量的平衡关系来建立,工业过程模型中的代数关系式通常来自热力学与传递的关系,例如流体的粘度是温度的函数。
?ob?= .凡事豫(预)则立,不豫(预)则废。(2)作 .故? ?就是求作的向量.图?6例?2?如图?6,分别用基底i、j?表示向量? ,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底? ?表示? ,其关键是把? ?表示为基底? ?的线性组合.一种方法是把?a?正交分解,看?a?在?x?轴、y?轴上的分向量的大小.把向量?a?用? ?表示出来,进而得到向量?a?的坐标.另一种方法是把向量?a?移到坐标原点,则向量?a?终点的坐标就是向量?a?的坐标.同样的方法,可以得到向量? ?的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a?与?b?关于?y?轴对称,a?与?c?关于坐标原点中心对称,a
平面向量的数量积 《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学案整体设计教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力f的作用下产生位移s(如图1),那么力f所做的功图1w=|f|| θ功w是一个数量,其中既涉及“长度”。

10、从而可以确定轮胎花纹的设计方案。但考虑到上述问题中六个不等式均为非线性规划,而且均为连续值,无法给出所有的可能的结果,故此组约束条件的求解是十分困难的。因此我们考虑对该非线性规划进行简化处理。 上,工业上在设计轮胎花纹的时候,的值不会随着每一组解的不同而进行机械设备上的大调整。故,我们考虑将定格在某几个值之间,然后运用图论中的知识进行组合,在经过筛选来得到我们所需要的轮胎花纹的组合。具体实施的算法如下: (1).设定的向量x, ,由资料显示与实际生活经验可以得到以下的分类:即,。在上述讨论中,也可到b, c 的集合,令向量, (2).将向量的每个元素看成图g中的一个顶点,其中点集每个点与点集中
e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对 实数 ? ,? ,使a ? ? e ?? e . 说明:(1)作为基底的两个向量必须不共线(2)用基底可以表示平面内任意一个向量(3)基底给定时,分解形式唯一.当要表示同一平面内的多个向量时,要想到“向量基底化”思想.【设计意图】使学生把解题过程中的思想方法总结出来,达到思维能力的提升,从而更广泛的应用于以后的学习中..七、教后反思本节知识容量较大,思维量较高,相比较向量的代数运算,向量的几何运算学生往往感到比较困难,难以把几何问题化归为向量问题.教师可让学有余力的学生课下继续探讨,达
由于μk看起来像一张人脸,因此μk常称作特征脸向量,用特征向量构成的图像称为特征脸图像。由于∑是 大小的矩阵,而且n的值较大,一般远大于训练样本的个数m,因此为了降低计算量,通常不直接求∑的特征向量μk,而是先计算大小为 的矩阵 的特征向量νk,根据代数理论,有( )对于这些相互正交的特征向量,根据其对应的特征值的大小按照从大到小的顺序进行排列,取前面 )个特征向量作为基向量(即主成分)建立本征脸空间s,用公式计算出所有训练图像在特征脸空间s的投影系数oi=(ω , ω ,…, ω ), …,m:ω =<φ >= (γi ψ) , ( ,… ,…,j)这里“<·>”表示内积。对于任一待识别的图像。

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