内切球与外接球的解题策略-名师揭秘某年高考数学(文)命题热点全覆盖+定稿

April 17, 2021, 10:24 a.m. 文档页面

【文章导读】 专题22内切球与外接球的解题策略 一【学习目标】 1掌握球的表面积体积公式 2掌握恢复长方体法求球的表面积及体积 3掌握多面体与球问题 4掌握外接球与内切球的解法 二【典例分析及训练】 (一)球相关问题 例1已知A,B,C是球面上三点,且 ,,,球心O到平

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专题22 内切球与外接球的解题策略 一.【学习目标】 1.掌握球的表面积体积公式 2.掌握恢复长方体法求球的表面积及体积 3.掌握多面体与球问题 4.掌握外接球与内切球的解法 二.【典例分析及训练】 (一)球相关问题 例1已知A,B,C是球面上三点,且 ,,,球心O到平面ABC的距离等于该球半径 的,则此球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】求出三角形ABC的外心,利用球心到△ABC所在平面的距离为球半径的,求出球的半径,即可求 出球的表面积. 【详解】由题意AB=6。

BC=8,AC=10,∵62+82=102,可知三角形是直角三角形, 三角形的外心是AC的中点,球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离, 设球的半径为R,球心到△ABC所在平面的距离为球半径的, 所以R2=(R)2+52, 解得R2 , R ∴球的表面积为4π2 . 故选:D. 【点睛】本题考查球的表面积的计算,考查球的截面的性质,属于基础题. 练习1.已知球是正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)  的外接球,, ,点在线段 A. B. 上。

且 C. ,过点作球的截面,则所得截面圆面积的取值范围是() D. 【答案】B 【解析】先利用等边三角形中心的性质,结合勾股定理计算得球的半径,过的最大截面是经过球心的截面, 可由球的半径计算得出.过最小的截面是和 垂直的截面,先计算得的长度,利用勾股定理计算得这个 截面圆的半径,由此计算得最小截面的面积. 【详解】画出图象如下图所示,其中是球心,是等边三角形 的中心.根据等边三角形中心的性质有 , ,即 ,设球的半径为,在三角形 ,解得,故最大的截面面积为 中,

由勾股定理得 .在三角形中, ,由余弦定理得 .在三角形 中, ,过且垂直 的截面圆的半径 ,故最小的截面面积为 .综上所述,本小题选B. 【点睛】本小题主要考查几何体外接球的问题,考查过一点球的截面面积的最大值和最小值问题,属于中 档题. 练习2.一平面截一球得到直径为6cm的圆面,球心到这个圆面的距离是4cm,则该球的体积是( ) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 【答案】C 【解析】设球心为。

截面圆心为 ,连结 ,由球的截面圆性质和勾股定理,结合题中数据算出球半径 ,再利用球的表面积和体积公式即可算出答案. 如图,设四个球的球心分别为A、B、C、D,则AD=AC=BD=BC=5,AB=6,CD=4.设AB中点为E、CD中 点为F,连接EF在 ABF中求得BF= ,在△EBF中求得EF= . 由于对称性可得第五个球的球心O在EF上,连接OA、OD.设第五个球的半径为r,则OA=r+3,OD=r+2, 于是OE= ,OF= ,∵OE+OF=EF, ∴ (舍掉),故答案为 . 平方整理再平方得,解得或 点评:本题通过分析球心的位置。

根据它们构成的几何体特征,转化成平面几何中三角形边角关系,利用 方程思想得解. (三)多面体的最值与球问题 例3.点A,B,C,D在同一个球的球面上, ,,若四面体ABCD体积的最大值为, 则这个球的表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据题意,画出示意图,结合三角形面积及四面积体积的最值,判断顶点D的位置;然后利用勾 股定理及球中的线段关系即可求得球的半径,进而求得球的面积。 【详解】根据题意,画出示意图如下图所示 因为 。

所以三角形ABC为直角三角形,面积为 ,其所在圆面的小圆圆 心在斜边AC的中点处,设该小圆的圆心为Q 因为三角形ABC的面积是定值,所以当四面体ABCD体积取得最大值时,高取得最大值 即当DQ⊥平面ABC时体积最大 所以 所以 设球心为O,球的半径为R,则 即 解方程得 所以球的表面积为 所以选D 【点睛】本题考查了空间几何体的外接球面积的求法,主要根据题意,正确画出图形并判断点的位置,属 于难题。 练习1.三棱锥PABC中,PA,PB,PC互相垂直, ,M是线段BC上一动点,若直线AM 与平面PBC所成角的正切的最大值是 6。

则三棱锥PABC的外接球的表面积是( 2  ) 此时AP = ,PM= ,在直角△PBC中, A.2p B.4p C.8p D.16p 【答案】B 【解析】M是线段BC上一动点,连接PM,∵PA,PB,PC互相垂直,∴AMP就是直线AM与平面 PBC所成角,当PM最短时,即PM^BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大. 6 6 PM 2 3 . 三棱锥PABC扩充为长方体,则长方体的对角线长为 ∴三棱锥PABC的外接球的半径为R=1, ∴三棱锥PABC的外接球的表面积为4pR2=4p. 。

选B. 点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆 的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且 ,一般 把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用 (四)多面体放入球中求球的表面积和体积 求解. 例4.侧棱和底面垂直的三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在球O的球面上,若△ABC是边长为 的等边三 角形。

C1C= A. B. ,则球O的表面积为 C.D. 【答案】D 【解析】根据组合体的结构特征,现求得三棱柱的底面正三角形的外接圆的半径,在利用勾股定理求得外 接球的半径,利用球的表面积公式,即可求解. 【点睛】本题考查了有关球的组合体问题,以及三棱锥的体积的求法,解答时要认真审题,注意球的性质 的合理运用,求解球的组合体问题常用方法有(1)三条棱两两互相垂直时,可恢复为长方体,利用长方体 的体对角线为外接球的直径,求出球的半径。

(2)利用球的截面的性质,根据勾股定理列出方程求解球的 半径. 练习1.某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析:由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 外接球球心在过 中点且垂直于平面 的直线上,  , 可知是直线与面的交点,也是直线与直线 的外接球的表面积 的交点没有此可求三棱锥外接球的半径,得到棱锥 详解: 外接球球心在过 由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 中点且垂直于平面的直线上。

, 又点到 距离相等,∴点又在线段 的垂直平分面上, 故是直线与面的交点,可知是直线与直线 的交点 处的切线斜率为k1,椭圆M在点P处的切线斜率为k2,则k1的取值范围为( ) ( 分别是左侧正方体对棱的中点) 高难拉分攻坚特训(一) x2 1.已知椭圆M:a2+y2=1,圆C:x2+y2=6-a2在第一象限有公共点P,设圆C在点P k 2 A.(1,6) C.(3,6) 答案 D B.(1,5) D.(3,5) x2 解析 由于椭圆M:a2+y2=1,圆C:x2+y2=6-a2在第一象限有公共点 P。

所以 a2>6-a2, 6-a2>1, x2 解得3<a2<5.设椭圆M:a2+y2=1与圆C:x2+y2=6-a2在第一象限的公共点 =6-a2,所以k1=-y,k2=-a2y,k=a2,所以1∈(3,5),故选D. 2.已知数列{an}满足a1=4,an+1=4-a,且f(n)=(a1-2)(a2-2)+(a2-2)(a3-2)+(a3- 解析 ∵a1=4,an1=4-a,∴ = = =1+ ,又 =1,∴ an1-2 4an-4 an-2 an-2 a1-2 n an -2 xx 0 P(x0,y0),则椭圆M在点P处的切线方程为a2+y0y=1。

圆C在P处的切线方程为x0x+y0y x0 x0 k1 k 0 0 2 k2 4 n f 2)(a4-2)+…+(an-1)(an+1-2),若?n≥3(n∈N*),(n)≥m2-2m恒成立,则实数m的最小值 为. 答案 -1 4 2 2 an 2 2 + + 数列a-2是以 1为首项,1为公差的等差数列,∴ 2 =1+n-1=n,an-2=n,令bn=(an 2 n  an-2 2 -2)(an1-2)=n =4n-n+1,n+1 +…+bn=41-2+2-3+…+n-n+1= . 易知f(n)=4n在[3。

+∞)上是增函数, 2 2 1 1 + ∴f(n)=(a1-2)(a2-2)+(a2-2)(a3-2)+(a3-2)(a4-2)+…+(an-2)(an+1-2)=b1+b2 1 1 1 1 1 4n n+1 若?n≥3(n∈N*),f(n)≥m2-2m恒成立, 则f(n)min≥m2-2m. n+1 ∴f(n)min=f(3)=3,即m2-2m-3≤0, 解得-1≤m≤3, ∴实数m的最小值为-1. x2 y2 3.已知椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的左焦点F和上顶点B在直线3x-3y+3=0上,A 为椭圆上位于x轴上方的一点且AF⊥x轴。

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