例谈图形变换与二次函数相结合的中考试题珍藏版本

April 17, 2021, 8:43 a.m. 文档页面

【文章导读】 例谈图形变换与二次函数相结合的中考试题 ?42-中学数学月刊2011年第2期 例谈图形变换与二次函数相结合的中考试题 沈贤(江苏省江阴高级中学实验学校214400) 初中数学中的图形变换,主要包括轴对称变 换(翻折变换),平移变换,旋转变换,相似变换(位 似变

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例谈图形变换与二次函数相结合的中考试题 ?42中学数学月刊2011年第2期 例谈图形变换与二次函数相结合的中考试题 沈贤(江苏省江阴高级中学实验学校214400) 初中数学中的图形变换,主要包括轴对称变 换(翻折变换),平移变换,旋转变换,相似变换(位 似变换).图形变换作为数学课程改革新增加的内 容,对学生具有重要的教育价值,有利于发展学生 的空间观念.同时,二次函数也是历年中考的热点 和难点.一方面教材的内容强化了对图形变换的 要求,另一方面二次函数在初中数学中占有重要 地位,所以二次函数和图形变换的结合,是学生在 学习中不可忽视的内容. 纵观近几年的中考,题型灵活。

设计新颖,富 有创意的二次函数试题如雨后春笋般涌现,其中 一 些平移,旋转,轴对称图形变换与二次函数相结 合的试题更是成为中考压轴题的主角.本文结合 2010年全国各地中考试题评析,谈谈图形变换在 二次函数中的应用,以及对教师课堂教学的一些 启示. 1图形平移与二次函数相结合 例1(2010年天津)在平面直角坐标系中, 已知抛物线Y一.++C与z轴交于点A, B(点A在点B的左侧),与Y轴的正半轴交于点 C,顶点为E. (I)若b=2,c一3,求此时抛物线顶点E的坐 标; (Ⅱ)将(工)中的抛物线向下平移,若平移 后,在四边形ABEC中满足s△肼一S△AB.,求此 时直线BC的解析式。

(m)将(工)中的抛物线作适当的平移,若平 移后,在四边形ABEC中满足S△Bc一2S△oc,且 顶点E恰好落在直线Y=4x+3上,求此时抛物 线的解析式. 解(I)略. (Ⅱ)将(I)中的抛 物线向下平移,因为顶点 E在对称轴z一1上,易得 b一2. 所以抛物线的解析 式为Y=一z+2+c(c >0). J , C ,一 | A{o;D\曰F,j 图1 此时,抛物线与Y轴的交点为C(O,c),顶点 为E(1,1+c). 因为方程一z+2x+f一0的两个根为一 1一~/1+c,z2—1+~/1+c, 所以此时抛物线与z轴的交点为A(1一 。

0),B(1+,0). 如图1,过点E作EF//CB与x轴交于点F, 连结CF,则S△彤E—S△F. 因为S△BcE:S△ABc,所以S△∞F—S△ABc.所 以BF=AB===2J1+c. 设对称轴z一1与轴交于点D,则DF一 AB+BF一3,/1+c. 由EF//CB,得EFD=CBO.所以 RtAEDF∽RtACOB,有器一器. 因此—一——=.结合题意,解得 3√l+Cl+√l+C c一 导.故点c(o,5),B(导,0). 设直线BC的解析式为Y—mx+n,则 f5f1l .I一一{解得{ 5l0一m+,I一. 因此直线BC的解析式为Y一专z+{? (m)方法与(Ⅱ)雷同。

此略. 评析第(Ⅱ)问是抛物线向下平移,顶点也 随之移动,根据平行线距离处处相等,把面积相等 进行转化得到线段相等关系,随后用三角形相似 对应边成比例列出方程,得出平移后的抛物线解 析式,从而得出直线BC的解析式;第(m)问是第 (Ⅱ)问的推广,处理方法与第(Ⅱ)问相同. 2图形旋转与二次函数相结合 例2(2010年四川南充)已知抛物线一 一 妄z+bx+4上有不同的两点E(k+3,一h +1)和F(一尼~l,一是+1). 2011年第2期中学数学月刊?43? (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,抛物线 1 一一z+bx+4与z 厶 轴和轴的正半轴分别 交于点A和B。

M为ABP 的中点,/PMQ在AB 的同侧以M为中心旋 转,且/PMQ一45., M尸交Y轴于点C,MQ Jl 图2 交轴于点D.设AD的长为m(>0),BC的长 为,求和m之间的函数关系式; (3)当m,为何值时,PMQ的边过点F? 解(1)抛物线的解析式为一一z++ 4.(过程略) (2)抛物线一一z++4与.22轴的交点 为A(4,O),与轴的交点为B(0,4),故AB一 4,AM—BM一2. 在/PMQ绕点M在AB同侧旋转的过程中, 有MBC一DAM一/PMQ一45.. 又BMQ一BMC+PMQ一MDA+ DAM,所以/BMC一ADM。

故△BCM∽ AAMD.所以一一一8. 故和之间的函数关系式为一旦(>O). (3)(略). 评析发现△BCM∽△AMD是解答本题 的关键,而此结论比较隐蔽. 3轴对称变换与二次函数相结合 例3(2010年安徽芜湖)如图3,在平面直 角坐标系中放置一矩形ABC0,其顶点为A(0, 1),B(一3√3,1),C(一3,/g,0),O(0,O).将此矩形 沿着过E(一~/,1),F(一,0)的直线EF向右 下方翻折,B,C的对应点分别为B,C. (1)求折痕所在直线EF的解析式; (2)一抛物线经过B,E,B三点,求此二次函 数解析式; (3)能否在直线EF上求一点P。

使得△PBC 的周长最小?如能,求出点P的坐标;若不能,说 明理由. ),JI / 4, , /2 古E/l C1/ 一 4—3/2一iD12 / / 一 1 2 YIl / 4G ,3 , / / 2 l /1, l2 图3图4 解(1)设EF的解析式为一+b,把 E(一,1),F(一竽,.)的坐标代入得 j一解得一 竽…,解得 所以直线EF的解析式为一√3+4. (2)本题的关键是求出B的坐标.记FE的 延长线交Y轴于G,则G的坐标是(O,4). 由tan日一=等,tanLBGA一一』0 n 一, 得/EGA一3O。

B(一60..因此 ——上 GB经翻折后,在y轴上. 因为BG—CAG2+BA一 √(4—1)+(一3,/5).一6,所以GB一6,故B的 坐标是(0,一2). 利用待定系数法,可求得二次函数的解析式 1 是y:==一z.一√3一2.0o (3)解略. 评析此题把矩形的折叠放到坐标系中来 研究,综合考查了折叠的性质.本题的点E,F位 置很特殊,使点B在y轴上,这是难以觉察的.一 般情况下,B的坐标比较难计算. 图形的运动变换思想是近年中考的热点.因 此,我们平时教学中要多为学生创设动手实验,操 作演练的机会,让学生多做几何模型,进行平移, 旋转,展开,折叠等教学实践活动。

从中培养学生 的图形识别能力,动手操作能力,空间想象能力, 加强对图形性质,内涵的深入认识,掌握图形变 换,动静结合,变与不变的规律,培养学生"透过现 象看本质"的洞察能力,提高对中考综合性试题 的解题信心和解题能力.

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