二次根式定制版

2021-04-17 00:22:53本页面

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【正文】

第16章二次根式 第一节二次根式 【知识要点】 1.二次根式 代数式叫做二次根式。读作“根号”,其中叫被开方数. 2.二次根式有意义 有意义的条件是 3.二次根式的性质 性质一 性质二 性质三 性质四 4.最简二次根式 在化简后的二次根式里: (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数中不含分母. 被开方数同时符合上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式. 5.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【学习目标】 1.掌握二次根式有意义的条件及性质. 2.掌握最简二次根式及同类二次根式。

【典型例题】 1.二次根式的判定 【例1】下列式子中哪些是二次根式? (1);(2);(3);(4);(5); (6);(7);(8); (9);(10) 【答案】(1)、(3)、(5)、(7)、(8)是二次根式. 【分析】二次根式要求根指数为2,所以(4)就不是二次根式,同时二次根式的被开方数必须是非负数,所以(2)、(6)显然不是,(9)中只有当即时,才是二次根式,(10)中只有当时,才是二次根式. 2.二次根式有意义的条件 【例2】当实数取何值时,下列各式有意义? (1);(2);(3); (4);(5);(6)。 【答案】(1);(2)取任何实数。

(3);(4); (5)且;(6)。 【分析】(1)由,得,所以当时,有意义; (2)无论取什么实数,都有,所以当取任何实数时,都有意义; (3)由,且,得,所以当时,有意义; (4)由,即,得,所以当时,有意义; (5)由且,得且,所以当且时,有意义; (6)由且,即,得,所以当时,有意义; 3.二次根式的化简 【例3】化简下列二次根式; (1);(2); (3);(4)。 【答案】(1);(2);(3);(4) 【解答】(1)原式; (2)原式; (3)由且,得,所以 原式= ; (4)由且,得,所以 原式。 【例4】下列根式中哪些是最简二次根式? (1)。

(2);(3);(4); (5);(6);(7) 【答案】(1)、(5)、(7)是最简二次根式. 【解析】因为与它们的被开方数中各因式的指数不都是,所以(2)、(6)不是最简二次根式. 因为与,它们的被开方数含有分母,所以(3)、(4)不是最简二次根式. 4.同类二次根式的判定 【例5】下列各式中,哪些是同类二次根式? (1);(2);(3);(4);(5); (6);(7);(8)。 【答案】(1);(2);(3); (4);(5);(6); (7)因为,所以,于是 ; (8)因为,所以,于是 。 因此(1)、(5)、(7)是同类二次根式;(3)、(6)是同类二次根式。

(4)、(8)是同类二次根式. 【基础训练】 1.成立的条件是. 2.当x时,式子有意义. 3.当a时,;当a时,. 4.代数式中,字母x的取值范围是. 5.若,则. 6.若m<0,化简=. 7.若,则. 8.下列各式中,是最简二次根式的是() A.B.C.D. 9.式子成立的x取值范围为 A. B. C. D.x取任意实数 10.下列各组式子中,同类二次根式的是(). A.B. C.D. 11.的值(). A.是正数B.是负数C.是非负数D.可为正也可为负 12.x<y,那么化简为(). A.0B.2yC.-2xD.2y-2x 13.化简下列各式:(此题中的字母均为正数) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【能力提高】 1。

化简并计算:己知x,y为实数,且,求:的值. 2.己知与是同类根式,求的值. 3.已知,求的值. 4.在实数范围内分解因式 (1)4x4–1(2)x3x22x+2 第2节二次根式的运算 【知识要点】 1.二次根式的加减法 先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类二次根式分别合并. 2.二次根式的乘除法 二次根式的乘法:两个二次根式相乘,被开方数相乘,根指数不变. 二次根式的除法:两个二次根式相除,被开方数相除,根指数不变. 3.分母有理化 把分母中的根号化去。

叫做分母有理化. 4.有理化因式 两个含有二次根式代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式. 5.二次根式的混合运算 在二次根式运算中,实数运算律、运算性质以及运算性质规定都实用. 【学习目标】 1.会进行二次根式的四则混合运算. 2.会应用整式的运算法则进行二次根式的运算. 【典型例题】 1.二次根式的四则混合运算 【例1】计算: (1);(2); (3); 【答案】(1);(2)(3); 【解析】(1)原式; (2)原式 = (3)原式 ; 【例2】计算: (1); (2)(其中); 【答案】(1);(2) 【解析】(1)原式 ; (2)因为。

所以由根式可知,再由根式可知. 原式= 2.分母有理化 【例3】把下列各式分母有理化: (1);(2)。 【答案】(1);(2)。 【解析】(1)原式= (2)原式。 【例4】计算: (1);(2); (3);(4)。 【答案】(1);(2);(3);(4)。 【解析】(1)原式= ; (2)原式 =; (3)原式 ; (4)原式 【例5】计算: (1) (2); (3); 【答案】(1);(2);(3); 【解析】(1)原式 =; (2)原式 ; (3)解法一: 原式 解法二: 原式 3。

二次根式比较大小的常见方法 (1)平方法: 平方法比较两数、的大小时, 当时,如果,那么; 如果,那么。 当时,如果,那么; 如果,那么; (2)作差法: 作差法比较两数、的大小时,如果,那么;如果,那么 (3)作商法: 作商法比较两数、的大小时, 当时,如果,则;如果,则; 当时,如果,则;如果,则; (4)倒数法(分子有理化法) 倒数法比较两数、的大小时, 当时,如果,则;如果,则; 当时,如果,则;如果,则; 【例6】比较下来各式的大小: (1)与;(2)与; (3)与;(4)与。 【答案】(1);(2);(3);(4)。 【解析】第(1)题可以用“平方法“比较。

第(2)题可用“作差法”比较,第(3)题可用“作商法”比较,第(4)题可用“分子有理化法”比较. 4.一类特殊的二次根式求和问题 用拆项相消的技巧往往使某些求和问题运算比较简便. 【基础训练】 1.计算:. 2.计算:=. 3.计算:,. 4.计算:,. 5.计算:,. 6.计算:,. 7.分母有理化:;. 8.计算:. 9.的倒数为 10.若,y是x的有理化因式则y=,则,. 11.下列各式运算结果正确的是() A. B. C. D. 12.下列各式化简结果正确的是() A. B. C. D. 13.根式化简结果正确的是() A. B. C. D. 14。

的计算结果正确的是() A. B. C. D. 15.的倒数是() A. B. C. D. 16.设的小数部分为b,那么(4+b)b的值是() A.1B.是一个有理数;C.3D.无法确定。 17.18. 19. 20. 【能力提高】 1.化简与计算:己知,求的值. 2.已知,,求和的值. 3.已知,求下列各式的值. ①;② 二次根式单元测试题 (时间100分钟,满分150分) 一、选择题(本大题共6题。

每题4分,共24分) 1.在根式、、、、中,最简二次根式有() A.1个B.2个C.3个D.4个 2.在下列各式的化简中,化简正确的有() ①=a②5x=4x ③6a=④+=10 A.1个B.2个C.3个D.4个 3.已知二条线段的长分别为cm、cm,那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是() A.1cmB.cmC.5cmD.1cm或cm 4.已知a<0,化简:的结果是() A.1B.1C.0D.2a 5.的积为() A.1B.17C.D. 6.当a>0,b>0时,n是正整数,计算:的结果是() A.(ba)B.(anb3an+1b2) C.(b3ab2)D。

(anb3+an+1b2) 二、填空题(本大题共12题,每题4分,共48分) 7.a的有理化因式是. 8.当m>n时,化简:(mn)=. 9.已知2<m<1,化简:=. 10.当a<b<1时,化简:的结果为. 11.=. 12.计算:(a+2+b)(+)()=. 13.化简:x2y2(a>0,b>0)=. 14.若菱形两对角线长分别为(2+3)和(23),则菱形面积=. 15.已知b<0,化简:+=. 16.=. 17.计算=;=。 18.比较大小:;. 三.解答题:(本大题共七题,满分78分) 19.(本题满分为10分) 计算:(+)+ 20(本题满分10分) 化简:(x>。

0,y>0) 21(本题满分10分) 已知,求的值。 22.(本题满分10分) 计算: 23.(本题满分12分) 先化简,再求值:,其中 24.(本题满分12分) 设x、y是实数,且x2+y22x+4y+5=0,求. 25.(本题满分14分) 已知(), 求代数式的值。 第17章一元二次方程 第一节一元二次方程的概念 【知识要点】 1。

一元二次方程的概念 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。其实质是:①整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.其中“未知数的最高次数是2”是指在合并同类项之后而言的. 2.一元二次方程的一般式 一元二次方程的一般式,其中叫做二次项,为二次项系数;叫做一次项,是一次项系数;叫做常数项。任何一个一元二次方程都可以化成一般形式. 3.二次项系数含有字母的一元二次方程 二次项系数含有字母的方程是否是一元二次方程,需要对二次项系数进行讨论,要保证未知数的最高次数2,只需要二次项系数不为 4.对于一个一元二次方程,可以依据根的意义,判断未知数的一个值是不是这个方程的根。

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