中学数学第1讲 平面向量的概念及线性运算定稿

【文章导读】已知下列各式：；；第讲平面向量的概念及线性运算一、选择题；其中结果为零向量的个数为解析由题知结果为零向量的是，故选答案设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是与的方向相反与的方向相同解析对

1.已知下列各式：①AB＋BC＋CA；②AB＋MB＋BO＋OM；③OA＋OB＋BO＋ 第1讲 平面向量的概念及线性运算 一、选择题 → → → → → → → → → → CO；④AB－AC＋BD－CD.其中结果为零向量的个数为( → → → → →  ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由题知结果为零向量的是①④，故选B. 答案 B 2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a与λa的方向相反 C.|－λa|≥|a| B.a与λ2a的方向相同 D.|－λa|≥|λ|a 解析 对于A。

当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相 反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a| 的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较 大小. 答案 B 3.如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝( → → →  ) B.BE C.AD D.CF A.0 → → → 解析 由题图知BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝CB＋BF＝CF. → → → → → → → → → 答案 D 4。

设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；② 若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个 数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同， 故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二 是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3. 答案 D 5.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内 任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于( → → → →  ) A。

OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM 解析 OA＋OB＋OC＋OD＝(OA＋OC)＋(OB＋OD)＝2OM＋2OM＝4OM.故 → → → → → → → → → → → → 选D. 答案 D 在 ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于( → → → → →  ) 2 1 A.3b＋3c 2 1 C.3b－3c 52 B.3c－3b 12 D.3b＋3c 解析 ∵BD＝2DC，∴AD－AB＝BD＝2DC＝2(AC－AD)， ∴3AD＝2AC＋AB，∴AD＝3AC＋3AB＝3b＋3c。

7.(2017温州八校检测)设a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b， 解析 ∵BC＝a＋b，CD＝a－2b， ∴BD＝BC＋CD＝2a－b. 又∵A，B，D三点共线，∴AB，BD共线. 设AB＝λBD，∴2a＋pb＝λ(2a－b)， → → → → → → → → → → → → 2→ 1→ 2 1 答案 A → → → 若A，B，D三点共线，则实数p的值为( ) A.－2 B.－1 C.1 D.2 → → → → → → → → → ∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1。

答案 B 8.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两 个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝( → → →  ) A.a－2b 1B.2a－b 1 相等的向形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA ，DO，EF，共3个.CB ＋AD＝λAO，则λ＝.O，AB ＋AD＝AC＝2AO，已知AB＋AD＝解析 因为ABCD为平行四边形，所以AB ，故λ＝2.λAO ＝3(e＋e)，CB＝e－e，CD＝2e＋e，给出下列结11.向量e1，e2不共线，AB 1 2 2 1 1 2 ＝AB－CB＝4e＋2e＝2CD。

且AB与CB不共线，可得A，C，D共解析 由AC 1 2 ＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝12.已知△ABC和点M满足MA 成立，则m＝.mAM C.a＋2b 1D.2a＋b ＝AB＝解析 连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD 2 相等的向量有解析 根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA 1 → 1→ 1 2a， → → → 1 所以AD＝AC＋CD＝b＋2a. 答案 D 二、填空题 9.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边 → 量有个. → → → → 答案 3 10。

如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点 → → → → → → → → → → 答案 2 → → → 论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共 线.其中所有正确结论的序号为. → → → → → → 线，且B不在此直线上. 答案 ④ → → → → → → 解析 由已知条件得MB＋MC＝－MA，如图，延长AM交 ∴AM＝3AD＝3(AB＋AC)，即AB＋AC＝3AM，则m＝3. 13.(2017延安模拟)设e1与e2是两个不共线向量，AB＝3e1＋2e2。

CB＝ke1＋e2， → → → BC于D点，则D为BC的中点. 延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证 E，F分别为AC，AB的中点，即M ABC的重心， → 2→ 1→ → → → → 答案 3 → → CD＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为( →  ) 9 A.－4 3 C.－8 4 B.－9 D.不存在 解析 由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB＝λBD. 又AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1－2ke2。

所以BD＝CD－CB＝3e1－2ke2－(ke1＋e2) 解得k＝－4. 14.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋ → → → → → → → → ＝(3－k)e1－(2k＋1)e2， 所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 3＝λ（3－k）， 9 所以 2＝－λ（2k＋1）， 答案 A → → BA，则( →  ) A.点P在线段AB上 C.点P在线段AB的延长线上 B.点P在线段AB的反向延长线上 D.点P不在直线AB上 解析 因为2OP＝2OA＋BA。

所以2AP＝BA，所以点P在线段AB的反向延长 15.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP＝ → → → → → 线上，故选B. 答案 B → →＋λAB＋AC，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( OA |AB| |AC| → → → →  ) →＝OA＋λAB＋AC， → → 解析 作∠BAC的平分线AD.∵OP |AB| |AC| AB AC AD →＋→＝λ′→(λ′∈[0，＋∞))， →＝λ′AD，∴AP∥AD. ∴AP |AD| 16.若点O是△ABC所在平面内的一点。

且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|， 解析 OB＋OC－2OA＝(OB－OA)＋(OC－OA)＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB －AC，∴|AB＋AC|＝|AB－AC|. A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 → → → → → → → ∴AP＝λ |AB| |AC| |AD| → → → → ∴P的轨迹一定通过△ABC的内心. 答案 B → → → → → 则△ABC的形状为. → → → → → → → → → → → → → → → → → → 故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形。

答案 直角三角形1、数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的 一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。 2、数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。 3、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。 4、一个数学家越超脱越好。 5、数学是各式各样的证明技巧。 6、数学是锻炼思想的体操。 7、整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。 8、数学是研究抽象结构的理论。 9、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学 使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。

10、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。它愈来愈成 为衡量科学成就的主要标志了。