线性代数子空间终稿

【文章导读】则称为的子空间简单地讲，子空间是对加法和数乘运算封闭的的非空子集加上定义在其上的向量的加法和数乘运算是维向量空间子空间例若则是的子空间对任意有由定义，是的子空间。定理若是的子空间一般地，我们有命题：等价向量组生成相同的子空间例过原点的直线是一维子空间，不过原点的

则称为的子空间.,简单地讲，子空间是对加法和数乘运算封闭的的非空子集.,加上定义在其上的向量的加法和数乘运算是n维向量空间.,4.4子空间,例4.4.1若则是的子空间.,对任意有,由定义，H是的子空间。,定理4.4.1若,是的子空间.,一般地，我们有,命题：等价向量组生成相同的子空间.,例4.4.2过原点的直线是一维子空间，不过原点的直线不是子空间.,例4.4.3在（欧式）空间中，设,XY平面,XZ平面,YZ平面,一般地，过原点的平面是子空间的一个直观描述.,两个特殊的子空间：,例：判别下列集合是否为向量空间.,解：,所以，是向量空间。,(2)不是向量空间。,下面引入两个与矩阵A有关的重要的子空间。

,定义4.4.2设A是mn矩阵，A的列空间ColA是A的列向量的所有可能的线性组合构成的集合.,易知,因此，ColA也称为A的值域空间Range(A).,定理4.4.2mn矩阵A的列空间ColA是的子空间.,记则,例4.4.4,因此，方程组相容，b在ColA中.,判断b是否在ColA中.,解：b在ColA中当且仅当方程组有解.,定义4.4.3设A是mn矩阵，A的零空间NulA是齐次线性方程组Ax=0的所有解向量构成的集合.即,定理4.4.3矩阵A的零空间NulA是的子空间.等价地，m个方程n个未知量的齐次线性方程组Ax=0的解集是的子空间，称为Ax=0的解空间.,证明：显然，0在NulA中.,

所以NulA是的子空间.,任意实数k，,任取NulA中两个向量,例4.4.5求NulA的一个生成集.,解：首先，利用初等变换可化A为行最简形,取为自由变量，则解为：,然后，将一般解分解为以自由变量为权的向量的线性组合（解的参数形式）：,则是NulA的生成集.,