《空间向量的数乘运算》网络版

2021-06-19
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【文章导读】空间向量的数乘运算结论:空间任意两个向量都可平移到同一个平面内,成为同一平面内的向量因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有关结论仍适用于它们一、空间向量数乘运算实数与空间向量的乘积仍然是一个向量当时,当时,与向量方向相同;与向量方向相同;是零向量当时,

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【正文】

3.1.2空间向量的数乘运算,O,B,结论:空间任意两个向量都可平移到同一个平面内,成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有关结论仍适用于它们.,一、空间向量数乘运算,1.实数与空间向量的乘积仍然是一个向量.,当时,,当时,,与向量方向相同;,与向量方向相同;,是零向量.,当时,,(1)方向:,(2)大小:,的长度是的长度的倍.,2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,问题2:平面向量中,,的充要条件是:存在,唯一的实数,使,能否推广到空间向量中呢?,问题1:若,则,所在直线有那些位置关系?,零向量与任意向量共线.,由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题,共线向量定理:对空间任意两个向量。

的充要条件是存在唯一实数,使,性质,判定,如图,l为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,若点P是直线l上任意一点,则,对空间任意一点O,所以,即,若在l上取则有,和都称为空间直线的向量表示式,空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定.由此可判断空间任意三点共线。,l,A,B,P,O,由知存在唯一的t,满足,因为,所以,特别的,当t=时,,则有,进一步,,t,1t,P点为A,B的中点,l,A,B,P,O,判定空间中三点A、B、C共线的常用方法:,(1)只需得到存在实数,使,(2)对空间任意点O,存在实数t,使,特别地,当t=1/2时,,此时,点C恰为线段AB的,中点,A、B、P三点共线,结论1:,练习1。

对于空间任意一点O,下列命题正确的是:A.若,则P、A、B共线B.若,则P是AB的中点C.若,则P、A、B不共线D.若,则P、A、B共线,A、B、P三点共线,A,O,A,B,P,分析:证三点共线可尝试用向量来分析.,三、共面向量:,1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,注意:空间任意两个向量是共面的,但空间任意三个向量,既可能共面,也可能不共面,由平面向量基本定理知,如果,是平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使,如果空间向量与两不共线向量,共面,那么可将三个向量平移到同一平面,则有,那么什么情况下三个向量共面呢?,反过来,对空间任意两个不共线的向量。

如果,那么向量与向量,有什么位置关系?,C,2.共面向量定理:如果两个向量,不共线,,则向量与向量,共面的充要条件是,存在实数对x,y使,推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使,C,对空间任一点O,有,填空:,1xy,x,y,C,式称为空间平面ABC的向量表示式,空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定.,由此可判断空间任意四点共面,P与A,B,C共面,1.下列说明正确的是:(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线,2.下列说法正确的是:(A)平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面。

1下列命题中正确的个数是()若a与b共线,b与c共线,则a与c共线向量a、b、c共面即它们所在的直线共面若ab,则存在惟一的实数,使ab.A1B2C3D0,解析:中若b0,则a与c不一定共线中共面向量的定义是平行于同一平面的向量,表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面中若b0,a0,则不存在.答案:D,2.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,,则x的值为(),练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C,且有则x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的(),A.必要不充分条件,C.充要条件,B.充分不必要条件,D.既不充分也不必要条件,C,得证.,解析:由共面向量定理知,要证明P、A、B、C四点共面。

只要证明存在有序实数对(x,y)使得,例1.已知A、B、C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,确定在下列各条件下,点P是否与A、B、C一定共面?,利用共面向量的推论是证明四点共面的依据,例1,如图,在空间四边形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,求证:,证明三个向量共面的常用方法:(1)设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合;(2)寻找平面,证明这些向量与平面平行,【思路点拨】利用向量共面的充要条件或向量共面的定义来证明,(例2)如图,已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量,,,,求证:四点E、F、G、H共面;平面EG//平面AC.,例2(课本例)已知ABCD,从平面AC外一点O引向量。

求证:四点E、F、G、H共面;,证明:,()代入,所以E、F、G、H共面。,小结,共面,

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