线性代数复习课网友投稿

【文章导读】线性代数复习课一、内容提要二、典型例题一、内容提要行列式的性质性质行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面性质行列式与它的转置行列式相等性质对换两行行列式值反号性质若行列式某一行的元素都是两数之和则该行拆开原行列式可以表为相应的两个行列式之和性质

线性代数复习课,一、内容提要,二、典型例题,一、内容提要,行列式的性质,性质2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.,性质1行列式与它的转置行列式相等.,性质4对换两行,行列式值反号.,性质3若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和.,性质6把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.,性质5若有两行元素对应成比例,则行列式值为零.,设A,B为n阶矩阵,则有|AB|=|A||B|.,一、内容提要,Laplace按行列展开定理,行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和.即,设A=(aij)为n阶方阵。

则有,一、内容提要,伴随阵,设A为n阶方阵,Aij为(i,j)元的代数余子式,记,称A为方阵A的转置伴随阵.,伴随阵的性质,设A为n阶方阵A的伴随阵,则有,如果|A|0,那么,称方阵A为非奇异矩阵.,逆阵计算公式,非奇异矩阵A的逆阵为,逆矩阵,如果存在矩阵B,使AB=BA=E那么,称方阵A为可逆的,并称B为A的逆矩阵.,定理设A,B为n阶方阵,若AB=E,则A,B可逆,且有,一、内容提要,逆矩阵的性质,设A,B为n阶可逆矩阵,则有,一、内容提要,分块对角阵的性质,(3)A可逆的充分必要条件是Ai(i=1,s)都可逆,且有,一、内容提要,设Ai(i=1,s)都是方阵,设A,B都是方阵,则有,矩阵A与B行等价的充要条件是:存在可逆矩阵P。

使B=PA.,矩阵A与B列等价的充要条件是:存在可逆矩阵Q,使B=AQ.,具体地有,一、内容提要,等价矩阵,如果矩阵A经过有限次初等(行,列)变换,化为矩阵B,就称矩阵A与B(行,列)等价,记为AB.,行最简形矩阵,行阶梯形矩阵,一、内容提要,矩阵的秩,一、内容提要,如果矩阵A的等价标准形为,那么称F中单位阵的阶数r为矩阵A的秩,记为R(A).,性质1等价矩阵有相等的秩.,性质2,性质4,行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.,性质5,矩阵的秩,一、内容提要,如果矩阵A的等价标准形为,那么称F中单位阵的阶数r为矩阵A的秩,记为R(A).,性质7,性质8,性质9,性质6,逆矩阵的初等变换求法,矩阵初等变换的应用。

线性方程组的最简形解法,将线性方程组的增广矩阵化为行最简形,写出同解方程组,解便一目了然.,矩阵方程AX=B,XA=B的初等变换解法,一、内容提要,(1)当R(A,b)R(A)时,方程组无解;,(2)当R(A,b)=R(A)=n时,方程组有唯一解;,(3)当R(A,b)=R(A)<n时,方程组有无穷多解.,设n元线性方程组Ax=b.,n元方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)n.,AX=B有解的充要条件是R(A)=R(A,B).,线性方程组的可解性定理,当A为方阵时,Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0.,一、内容提要,齐次通解结构定理,设n元齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系为x1。

xnr,其中r=R(A),则Ax=0的通解为,(k1,knr为任意数),非齐次通解结构定理,(k1,knr为任意数),设x=h是n元非齐次线性方程组Ax=b的一个解(称特解),x1,xnr是导出组Ax=0的一个基础解系,则Ax=b的通解为,一、内容提要,一、内容提要,线性组合,如果存在一组数,使,称向量b可由向量组,并,线性表示.,设矩阵,则线性方程组Ax=b,有一组解,等价于,线性相关性,设有向量组,如果存在一组不全为0的数,使,那么,称线性相关.,否则,称线性无关.,基本性质,一、内容提要,(1)若向量b可由向量组a1,am线性表示,则向量组b,a1,am线性相关.,(2)若部分组线性相关,则整个向量组也线性相关。

(3)若向量组线性无关,则任一部分组也线性无关.,定理,线性相关性,设有向量组,如果存在一组不全为0的数,使,那么,称线性相关.,否则,称线性无关.,一、内容提要,向量组线性无关的充分必要条件是,a1,am线性无关,也即向量方程,只有零解.,向量组的秩,设A为一向量组,A中线性无关向量组所含向量个数的最大值r,称为向量组A的秩,记为R(A).,向量组的最大无关组,设向量组A的秩为r,如果a1,,ar为A中一个线性无关向量组,那么称a1,ar为A的一个最大无关组.,最大无关组的性质,设A为一向量组,则部分组a1,ar为A的一个最大无关组的充分必要条件是,(2)A中任一向量可由a1,ar线性表示.。

(1)a1,ar线性无关;,一、内容提要,化矩阵A为行最简形A0,通过观察A0,便知A的列向量组的秩和一个特定的最大无关组,以及A的其余列向量在该最大无关组下的线性表示.,一、内容提要,秩与最大无关组的一个算法,例设,的秩为3,一个最大无关组为,则,且有,初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.,向量组的线性表示,若向量组B中的任一向量都可由向量组A中的向量线性表示,就称向量组B可由向量组A线性表示.,一、内容提要,向量组B可由向量组A线性表示的充要条件是,若向量组B可由向量组A线性表示,则R(B)R(A).,等价向量组,可以相互线性表示的两个向量组,称等价向量组.,向量组A与向量组B等价的充分必要条件是。

向量空间,设Rn的非空集V满足条件：,那么,称V为一个向量空间.,当非空集V满足条件(1),(2)时,称V对线性运算封闭.,(1)若aV,bV,则a+bV;,(2)若aV,kR,则kaV,齐次线性方程组Ax=0的解集S是一个向量空间.,子空间,设有向量空间V1及V2,若V1V2,就称V1是V2的子空间.当V1V2时,称V1是V2的真子空间.,一、内容提要,向量空间的基和维数,称向量空间V的秩为V的维数,记为dimV.,称向量空间V的任一最大无关组为V的一个基.,基的性质,设V为一个向量空间,则V中向量组a1,ar为V的一个基的充分必要条件是,(2)V中任一向量可由a1,ar线性表示.,(1)a1。

ar线性无关;,n元齐次线性方程组Ax=0的基础解系为解空间S的一个基,dimS=nR(A).,一、内容提要,生成空间,设有向量组A:a1,am,记,称L(A)为由向量组A生成的向量空间,简称生成空间.称a1,am为生成元.,向量组线性表示的等价说法,设有向量组A:a1,as,B:b1,bt.则有,(1)L(A)为L(B)的子空间的充分必要条件是A组可由B组线性表示；,(2)L(A)=L(B)的充分必要条件是A组与B组等价.,一、内容提要,向量在基下的坐标,设V为一个r维向量空间,则V中任意r个线性无关向量a1,ar为V的一个基,且有,V中任一向量a可唯一地表示为,称(k1,kr)为a在基a1,ar下的坐标。

一、内容提要,过度矩阵,一、内容提要,设a1,ar及b1,br是向量空间V的两个基,称此关系式为基变换公式.,称矩阵P为从基a1,ar到基b1,br的过渡矩阵.,过渡矩阵是可逆矩阵.,则,存在r阶矩阵P,使,向量的内积,一、内容提要,设有n维向量a=(a1,,an),b=(b1,,bn),称a,b为向量a与b的内积.,记,向量的范数,若a,b=0,则称向量a与b正交.,向量的夹角,非零向量a与b的夹角为,规范正交基,一、内容提要,r维向量空间V中,任一正交单位向量组e1,er,称为V的一个规范正交基.,正交矩阵,如果PTP=E(P1=PT),则称方阵P为正交矩阵.,P为n阶正交阵的充分必要条件是P的列(行)向量组为Rn的一个规范正交基。

正交变换,若P为正交阵,则称线性变换y=Px为正交变换.,正交变换保持向量的内积不变.,方阵的特征值,一、内容提要,称n次多项式|lEA|为A的特征多项式.,称n次方程|lEA|=0的根为方阵A的特征值.,设l1,ln为A的所有特征值,则有,特征值的性质,(2),(1),A的迹,记为tr(A).,设f是一个多项式,若l为方阵A的一个特征值,则f(l)为f(A)的一个特征值.,方阵的特征向量,一、内容提要,设l为方阵A的特征值,称方程组(lEA)x=0的任一非零解为方阵A对应于特征值l的特征向量.,对应于n阶矩阵A的特征值l有nR(lEA)个线性无关的特征向量,定理设l1,lm是方阵A的m个不相同的特征值。

A1,Am分别为属于l1,lm的线性无关特征向量组,则由A1,Am的并集构成的向量组线性无关.,称属于l的线性无关特征向量组.,定理设l1,lm是方阵A的m个不相同的特征值,p1,,pm为对应的特征向量,则p1,pm线性无关.,相似矩阵,一、内容提要,设A,B为n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使,那么,称B是A的相似矩阵.,称P为相似变换矩阵.,矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.,定理相似矩阵有相同的特征多项式(特征值).,推论若对角阵L是A的相似矩阵,则L以A的特征值为对角元素.,定理,一、内容提要,n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.,定理,设l是n阶矩阵A的k重特征值。

则,定理,方阵A可相似对角化的充分必要条件是A的每一特征值的几何重数等于代数重数.,称k为特征值l的代数重数.,称nR(lEA)为特征值l的几何重数.,(1)求出n阶方阵A的所有特征值li.,一、内容提要,(2)求(liEA)x=0的一个基础解系.,(3)将求出的n个特征向量排成矩阵,则,可对角化矩阵的多项式计算,当P1AP=L=diag(l1,ln)时,方阵相似对角化的算法,二、典型例题,例1设a1,a2,a3,b均为3维列向量,矩阵A=(a1,a2,a3),解,B=(3a1,2a2,b),且已知行列式detA=2,detB=6.计算det(3AB)和det(3A+B).,解,例2设,计算,

知识点,例3计算矩阵A2n的行列式,其中,解,例4设,且A2+ABA=E,求A9和B.,解,证明,例5设A满足方程A2+2AE=O,证明A与A+3E都可逆,并求它们的逆阵.,由A2+2AE=O,得,因此A可逆,且有,因此A+3E可逆,且有,解,例6,由AB=B+A,得,例7设,求An.,解,则有,令,知识点,问a取什么值时,(1)b可由a1,a2,a3线性表示,且表示式唯一;(2)b可由a1,a2,a3线性表示,但表示式不唯一;(3)b不可由a1,a2,a3线性表示.,解对(A,b)(a1,a2,a3,b)施行初等行变换,(1)当a2时,R(A,b)=R(A)=3,b可由a1,a2,a3线性表示。

且表示式唯一(因a1,a2,a3线性无关);,(2)当a=2时,R(A,b)=R(A)=2,b可由a1,a2,a3线性表示,但表示式不唯一(因a1,a2,a3线性相关);,(3)当a=2时,R(A,b)R(A),b不可由a1,a2,a3线性表示.,例8设,例9设矩阵A=(a1,a2,a3,a4),其中a3,a4线性无关,a3=2a1+a2,a4=3a1+2a2.向量b=a1+a2+a3+a4,求方程组Ax=b的通解.,解,知识点,由a3=2a1+a2,a4=3a1+2a2知x1=(2,1,1,0)T,x2=(3,2,0,1)T,为方程组Ax=0的两个解,又因a3,a4线性无关,所以a3,a4为a1。