平面向量的概念及线性运算珍藏版本

【文章导读】平面向量的数量积《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学案整体设计教学分析前面已经知道，向量的线性运算有非常明确的几何意义，因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢？如果能，运算结果应该是什

1、 平面向量的数量积 《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学案整体设计教学分析前面已经知道，向量的线性运算有非常明确的几何意义，因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢？如果能，运算结果应该是什么呢？另外，距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道，如果一个物体在力f的作用下产生位移s(如图1)，那么力f所做的功图1w=|f|| θ功w是一个数量，其中既涉及“长度”。
理解不定积分和定积分的概念． 2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法． 3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分． 4．理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式． 5．了解反常积分的概念，会计算反常积分． 6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．四、向量代数和空间解析几何第 2 页考试内容向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积 向量的混合积

2、向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别。
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算导学案课时目标1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．11．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i，j 作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数 使得 a＝ ，则 叫作向量 a 的坐标， 叫作向量的坐标表示．→(3)向量坐标的求法：在平
平面向量的数量积及运算律（?1）??那么对于这一平面内的任一向量?a?，有且只有一对实数λ?，λ?使?a?=教学目的：1?掌握平面向量的数量积及其几何意义；2?掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3?了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4?掌握向量垂直的条件教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1?课时内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识?主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义。平面向量的概念及线性运算

3、主要探究用向量方法解决平面几何问题.三、教学目标重点: 用向量方法解决平面几何问题的基本方法和基本步骤．难点：如何构建向量模型将平面几何问题化归为向量问题．知识点：运用向量方法解决平面几何问题三步曲．能力点：发展创新意识,提高转化与化归能力.教育点：通过对新方法的探求，渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．自主探究点：三角形四心的向量表示．考试点：利用向量的几何意义进行向量的线性运算与数量积运算．易错易混点：向量基底的选择．拓展点：利用向量证明有关不等式．四、教具准备三角板、圆规、多媒体五、教学过程复习引入【师生活动】我们学习了向量的线性运算与数量积运
也涉及“角”，而且只与向量 有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义 =|a|| θ.这是一个好定义，它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等)，而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的

4、本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.推进新课新知探究提出问题①向量是否有减法？②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算?,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算?,必须先引进一个相反数的概念?.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算?.可类比数的减法运算?,我们定义向量的减法运算?,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?引导学生思考,相反向量有哪些性质?由于方向反转两次仍回到原来的方向。
平面的法向量与平面的向量表示课题 平面的法向量与平面的向量表示 课时 第 1 课时 课型 新授课教学 会用平面的法向量证明平面与平面平行、 依据：教参，教材，课程标准，高考大纲重点 垂直.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.教学 会用平面的法向量证明平面与平面平行、 依据：教参，教材，难点 垂直.会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题自主 1.通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质 理由：学习 2.学生牢记平面的法向量的概念、三垂线定理及其逆定理，会求平面的法向量. 课程标目标 3.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直. 准，高4.学生会应用三垂线定理及其逆定理。
理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法?.能够在具体问题中适当地选取基底?,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1?课时教学过程导入新课思路?1.在物理学中我们知道?,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算?.而且力是可以分解的?,任何一个大小不为零的力?,都可以分解成两个不同方向的分力之和?.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力?g。

5、3.通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰，并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想
平面向量§ 平面向量的实际背景及基本概念导学案课时目标1.通过对物理模型和几何模型的探究，了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念．11．向量：既有 ，又有 的量叫向量．2．向量的几何表示：以 a 为起点，b 为终点的向量记作 ．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 ．(2)单位向量：长度为 的向量叫做单位向量．(3)相等向量： 且 的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向 的 向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量 a 平行于 b，记作 ．②规定：零向量与 平行．平面向量的概念及线性运算

6、函数的值域3、函数的奇偶性及函数的单调性4、函数的图象5、指数函数与对数函数,幂函数6、二次函数及方程的根7、函数的最值8、函数综合应用第三章基本初等函数(2)三角函数 2 周半1、任意角的三角函数2、同角的三角函数关系式及 导公式3、两角和与差的三角函数4、三角函数的图象5、三角函数的性质6、已知三角函数值求角7、解三角形8、三角形中的有关问题第四章导数及其应用 2 周1、导数的概念及运算2、导数的应用第五章不等式 1 周半1、含绝对值不等式与一元二次不等式的解法2、不等式的性质3、不等式的证明 4、不等式的解法举例5、不等式的应用第六章数列 2 周半1、数列的有关概念2、等差数列3、等比数列4、等差与等比数列5、数列求和6、数列的应用7、数学归纳法及其应用第七章概率与统计 2 周1、随机 的概率2、互斥 有一个发生的概率3、抽样方法4、统计第八章复数 半周1、复数的有关概念及表示2、复数的代数形式及其运算第九章立体几何初步 3 周半1、空间几何体2、点、线、面、体之间的位置关系3、球的有关知识第十章平面向量与解析几何 6 周1、向量与向量的运算2、平面向量的坐标运算3、平面向量的数量积及运算4、直线的方程5、两条直线的位置关系6、简单的线性规划7、曲线与方程8、圆的方程9、直线与圆10、椭圆 、双曲线 、抛物线五、学生情况分析细目表姓名 目前学习层次 增分点及分数 目标分数 终极目标 备注保选择题强化解答题甫建海 二本 英语弱增 10 分保选择题强化解答题金亚萍 一本 均匀增 10 分加强几何部分及选择王建菊 二本 均匀部分。

7、都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量e?、?e?，平面上的任何一个向量?a?都可以用?e?、?e?唯一表示为?a?=???e?+???e?，这样几何问题就转化 为代数问题，转化为只含有?e?、?e?的代数运算．12要点二：向量的夹角已知两个非零向量?a?与?b，在平面上任取一点?o，作?oa??? ???b，则?? ?????(00??????? ?)资料来源于网络?仅供免费交流使用精品文档?用心整理????叫做?
还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．d?错．【总结升华】我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的．复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来．举一反三：【平面向量的实际背景及基本概念? ?例?2】【变式?1】判断下列命题的正误：资料来源于网络?仅供免费交流使用精品文档?用心整理（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若向量?a?与向量?b?不共线，则?a?与?b?都是非零向量；（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（5）若两个向量的模相等，则这两个向
掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念．5．会用初等行变换求解线性方程组．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量．2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵．3．理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性考试要求1．了解二次型的概念。

8、而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用。这一节课，我们将学习向量的有关概念。向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物理学中常称为矢量）（而把那些只有大小，没有方向的量如：年龄、身高长度、面积、体积、质量等，称为数量。物理学中常称为标量）注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。（二）向量的几何表示（引入：?由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，而且不同的点表示不同的数量。）对于向量，我们常用带箭头的线段——
掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5．掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵考试要求1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.2．理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.3．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型第 6 页考试内容合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性考试要求1．掌握二次型及其矩阵表示。平面向量的概念及线性运算

9、通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.2.启发学生能够发现问题和提出问题,善于 思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量.重点难点教学重点:向量的减法运算及其几何意义.教学难点:对向量减法定义的理解.课时安排1?课时教学过程导入新课思路?1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.思路?2.(直接导入)数的减法运
研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力f的作用下产生位移s，那么力f所做的功w可由下式计算:w=|f|| θ其中θ是 的夹角.我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量(数量).故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过，任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量 .我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除 (除数不为零)运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能。
精品文档?用心整理 版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习平面向量的实际背景及基本概念【学习目标】1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量．4．理解两个向量共线的含义．【要点梳理】要点一：向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等）?称为数量。要点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移。（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要

10、凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。一、学习目标：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量.二、学习重难点：平面向量的基本定理及其应用.三、学习过程：回顾复习：1、向量的加法运算（?平行四边形法则）:2、向量的减法运算:3、实数与向量的积:4、向量共线定理:问题?1：由平行四边形法则思考：是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？问题?2：对于平面上两个不共线向量?e?，e?是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？12?动手操作：?e?，?e?是不共线向量，?a?是平面内任一向量 ?????????????????????????
有如下四个命题：（ ）①给定向量b ，总存在向量c，使a ? b ? c；②给定向量b 和c，总存在实数? 和 ? ，使a ? ?b ? ?c ；③给定单位向量b 和正数? ，总存在单位向量c 和实数? ，使a ? ?b ? ?c ；④给定正数? 和? ，总存在单位向量b 和单位向量c，使a ? ?b ? ?c ；上述命题中的向量b ， 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 【解题指南】本题考查平面向量的加减运算、平面向量基本定理、平面向量的几何意义等知识，可逐一检验.a【解析】选 b.利用向量加法的三角形法则，易得①是真命题；利用平面向量的基本定理，易得②是真命题；以
③当ａ与ｂ的夹角是?60°时，有12评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°， °］，因此，当ａ∥ｂ时，有?0°或? °两种可能四、课堂练习：五、小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：1?概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：1?已知△ ?中，ａ＝５，ｂ＝８，ｃ＝６０°，求?bc?·ca对此题，有同学求解如下：(ａ·ｂ)·с＝（｜ａ｜·｜