高中数学 专题平面向量网络版

【文章导读】精品文档用心整理版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习平面向量的实际背景及基本概念【学习目标】．了解向量的实际背景．．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量．．理解两个向量共

1、精品文档?用心整理 版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习平面向量的实际背景及基本概念【学习目标】1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量．4．理解两个向量共线的含义．【要点梳理】要点一：向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等）?称为数量。要点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移。（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要

2、精品文档?用心整理 版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习平面向量应用举例【学习目标】1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力。【要点梳理】要点一：向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义。（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：?a?/?b?
平面向量的数量积及运算律（?1）??那么对于这一平面内的任一向量?a?，有且只有一对实数λ?，λ?使?a?=教学目的：1?掌握平面向量的数量积及其几何意义；2?掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3?了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4?掌握向量垂直的条件教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1?课时内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识?主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义。
有如下四个命题：（ ）①给定向量b ，总存在向量c，使a ? b ? c；②给定向量b 和c，总存在实数? 和 ? ，使a ? ?b ? ?c ；③给定单位向量b 和正数? ，总存在单位向量c 和实数? ，使a ? ?b ? ?c ；④给定正数? 和? ，总存在单位向量b 和单位向量c，使a ? ?b ? ?c ；上述命题中的向量b ， 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 【解题指南】本题考查平面向量的加减运算、平面向量基本定理、平面向量的几何意义等知识，可逐一检验.a【解析】选 b.利用向量加法的三角形法则，易得①是真命题；利用平面向量的基本定理，易得②是真命题；以高中数学 专题平面向量

3、 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算导学案课时目标1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．11．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i，j 作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数 使得 a＝ ，则 叫作向量 a 的坐标， 叫作向量的坐标表示．→(3)向量坐标的求法：在平
∴| ab | ＋| ac | ＝| bc | ， ∴△ 是以 bc为斜边的直角三角形．复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．3在复平面内，o 是原点，向量 oa―→对应的复数为 .(1)如果点 a 关于实轴的对称点为点 b，求向量 ob―→对应的复数；(2)如果(1)中的点 b 关

4、会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解?,由点在直角坐标系中的表示得到启发?,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与?x?轴、?轴方向相同的两个单位向量 ?作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量?a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数? ,使得? 于是,平面内的任一向量?a?都可由?x、?唯一确定,而有序数对( )正好是向量?a?的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射?,从而实现向量的?“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示?。
理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法?.能够在具体问题中适当地选取基底?,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1?课时教学过程导入新课思路?1.在物理学中我们知道?,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算?.而且力是可以分解的?,任何一个大小不为零的力?,都可以分解成两个不同方向的分力之和?.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力?g。
则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解， 上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2．平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系内，分别取与?x?轴、?y?轴方向相同的两个单位向量?i?、j?作为基底，对于平面上的一个向量?a?，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数?x,?y?，使得?a?= ?+ ?.这样，平面内的任一向量?a?都可由?x,?y?唯一确定，我们把有序数对?(?x,?y)?叫做向量?a?的（直角）坐标，记作?a?=?(?x,?y)?，x?叫做?a?在?x?轴上的坐标，y?叫做?a?在?y?轴上的坐标．把?a?=?(?x,?y)?叫做向量的坐标表示．给出了

5、可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．要点五：平面向量平行(共线)的坐标表示1．平面向量平行(共
?故????3v???3,? ?????)???2,?∴??v????1,?????3.∴当? ?三点共线时,λ=3.例?3?下面三种 :①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底?;②一个平凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的 是a.①②b.②③c.①③d.①②③活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解?,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的?.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底?。高中数学 专题平面向量

6、凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。一、学习目标：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量.二、学习重难点：平面向量的基本定理及其应用.三、学习过程：回顾复习：1、向量的加法运算（?平行四边形法则）:2、向量的减法运算:3、实数与向量的积:4、向量共线定理:问题?1：由平行四边形法则思考：是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？问题?2：对于平面上两个不共线向量?e?，e?是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？12?动手操作：?e?，?e?是不共线向量，?a?是平面内任一向量 ?????????????????????????

7、3.通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰，并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想
平面的法向量与平面的向量表示课题 平面的法向量与平面的向量表示 课时 第 1 课时 课型 新授课教学 会用平面的法向量证明平面与平面平行、 依据：教参，教材，课程标准，高考大纲重点 垂直.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.教学 会用平面的法向量证明平面与平面平行、 依据：教参，教材，难点 垂直.会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题自主 1.通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质 理由：学习 2.学生牢记平面的法向量的概念、三垂线定理及其逆定理，会求平面的法向量. 课程标目标 3.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直. 准，高4.学生会应用三垂线定理及其逆定理。
平面向量§ 平面向量的实际背景及基本概念导学案课时目标1.通过对物理模型和几何模型的探究，了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念．11．向量：既有 ，又有 的量叫向量．2．向量的几何表示：以 a 为起点，b 为终点的向量记作 ．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 ．(2)单位向量：长度为 的向量叫做单位向量．(3)相等向量： 且 的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向 的 向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量 a 平行于 b，记作 ．②规定：零向量与 平行．

8、(2)复数 ) ??一一?对??应 平面向量oz ＝( )．3．复数的模复数 )对应的向量为oz ，则oz 的模叫做复数 z 的模，记作|z|或| |，且|z|＝ a ＋b . 探究复数的几何意义根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数 、复平面内的点 )和平面向量oz 之间的关系可用如下图表示：复数 )对应点的坐标不是( )，而是( )，做题时要注意这1一点．复数与复平面内点的一一对应实数 x 取什么值时，复平面内表示复数 ＋ ＋(x － 的点 z： (1)位于第三象限？(2)位于第四象限？(3)位于直线 上？因为 x 是实数，所以 x
任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果? ?是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量?a,有且只有一对实数?λ1、λ2,使?a=λ +λ .定理说明:(1)我们把不共线向量? ?叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量?a?在给出基底? ?的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a=λ +λ .提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:引导学生结合向量的定义和性质?。高中数学 专题平面向量

9、也涉及“角”，而且只与向量 有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义 =|a|| θ.这是一个好定义，它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等)，而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的
１．你能说出它们的几何意义吗？这与平面几何哪些内容可以相互联系与转化？（１）向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则a bbbaa（２）向量减法的法则：三角形法则与平行四边形法则b’a ?ba+ (?b)b a b（３）平面向量基本定理：?如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有 ?且只有一对实数? ,? 使a =? e ?? e . （４）向量的数量积及其几何意义： 数量积 等于a 的长度与b 在a 方向上投影 ? 的乘积．数量积的作用求模求夹角证垂直．(5) 向量的模：a ? ? x ?
不豫（预）则废。更方便的研究呢?思路?2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解?.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题图?1①给定平面内任意两个不共线的非零向量? ,请你作出向量? .平面内的任一向量是否都可以用形如?λ +λ ?的向量表示呢?②如图?1。
有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，我们把前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向2．既有大小。又有方向的量叫做向量，向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）3．方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的量4．方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量5．方向相同或相反的两个向量叫做平行向量 ?平面向量的加法1．求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法2．求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量收尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量，这样的规定叫做向量加法的三角形法则3．一般地，我们把长度为零的向量叫做零向量4．向量的加法满足交换律、结合律 ?平面向量的减法1．已知两个向量的和及其中一个向量。

10、在平面直角坐标系中,分别取与?x?轴、y?轴方向相同的两个单位向量ｉ、?作为基底.对于平面内的一个向量?a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数? ,使得 ｉ+yj①这样,平面内的任一向量?a?都可由? ?唯一确定,我们把有序数对( )叫做向量?a?的坐标,记作a=( )②其中?x?叫做?a?在?x?轴上的坐标,y?叫做?a?在?y?轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=( ),j=( ),0=( ).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量?a?与有序实数对( )一一对应.,(2)向量?a?的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系?只与其相对位置有关系.如图所
平面向量的数量积 《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学案整体设计教学分析前面已经知道，向量的线性运算有非常明确的几何意义，因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢？如果能，运算结果应该是什么呢？另外，距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道，如果一个物体在力f的作用下产生位移s(如图1)，那么力f所做的功图1w=|f|| θ功w是一个数量，其中既涉及“长度”。
如果小正三角形沿 a着大正三角形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量oa围绕着点o旋转了? 角，其中o为小正三角形的中心，则? ? ? ? ． ? ?11．对于函数 f (x) ? (?x ??) (? ? ? ? )，以下列四个命题中的两个为条件，余 下的两个为结论，写出你认为正确的一个命题 ．? ?①函数 f (x)图像关于直线x ? 对称； ②函数 f (x)在区间[? ,0]上是增函数； ?③函数 f (x)图像关于点( ,0) 对称； ④函数 f (x)周期为? .312．高中数学教材上有一道习题：已知平面四边形一组对边的平方和等于另一