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函数、导数及其应用.doc

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Error!Notextofspecifiedstyleindocument.第1章函数、导数及其应用1.1函数、导数及其应用高考试题回眸、分析与预测纵向观察近几年来全国高考数学试题中函数、导数及其应用的命题的走向,横向比较每年全国及各省份的19套试题,文理37份(江苏文理同卷)试题中函数、导数及其应用的命题趋势,就会发现函数、导数及其应用的命题经过了6种类型的演变:①由开始研究的含参量的三次多项式函数(包括由与三次多项式函数的乘积而成的函数)和有理分式函数的单调性和极值问题、曲线和切线问题、用导数研究函数图像的大致形状来研究不等式的恒成立、方程根的个数等问题,这类题型应该说是

②由于三次多项式函数的导数是二次三项式,逐步演变成含有(,是常数,且)与二次三项式或一次分式相加而成的函数,用导数研究函数的性质与类型①没有本质的区别,只不过是把研究区间由演变到了,导数的分子还是二次三项式形式,这类题型应该说是第2阶段的试题;③综合考查函数的周期性、奇偶性、对称性等基本性质再结合导数及其应用来研究函数的或围成的区域的最值、定值及构建函数解决不等式等问题,这类题型没有构成阶段,只是昙花一现或对传统函数问题的回归或使用导数在解决某不等式的作用的偏爱;④或与一次函数相加或与一次分式函数相加类型,这类试题应该说是第3阶段的试题,在全国和各省份试题中都出现过;⑤由两个重要不等式和(实际上是一样的)构成的题型。

这是现阶段命题的趋势;⑥把导数应用与数列、导数与不等式等结合,部分省份试题喜欢这类型的试题,但国家考试中心没有命制,考虑到新课标试题的大题数目只有5道,把导数与数列结合也是命题的选项.应该说试题命题方向一直是由国家考试中心在引领,其他省份在跟进与发展,但有些试题的解答至今是教师对解题机理还没搞明白,对解答心存疑惑,学生对解答也不明白,如国家考试中心命制的(2006.全国Ⅱ.理20)、(2007.全国Ⅰ.理20)中第2)问、(2010.全国课标.文、理21)中第2)问.含参变量的分类讨论的试题往往也是选择在函数、导数及其应用这个内容进行命题,含参变量的分类讨论问题,一直作为高考压轴题,年年都在考,教师天天在念,考生天天在做,但考生的解答却没有多少突破,这些问题都是因为教师、学生对解答要领还没有一个清晰的认识,还没找到一种“抓纲”的提纲挈领的分类讨论思维方法。

基于此,本章就对函数、导数及其应用的近几年的高考命题作一下回眸,对各类题型的经典试题做一些分析,并对试题命题方向作一下预测.1.2◎导数为二次函数或导数可化为二次函数试题典释经典试题回眸、典释◎1.(2006.湖北.理21)设是函数()的一个极值点.Ⅰ)求与的关系式(用表示),并求函数的单调区间;Ⅱ)设,,若存在,使得成立,求的取值范围.典释:(Ⅰ)∵,依题意,是的根,则.∴,令,得或(令,得临界条件).(1)若时,作出的根轴图(见图11),当时,;当时,.故函数减函数区间是:和;增函数区间是.(2)若时,当时,,故函数减函数区间.(3)若时,

作出的根轴图(见图12),当时,;当时,.故函数减函数区间是:和;增函数区间是.图11图12(Ⅱ)∵,则,函数在是增函数,在是减函数,,,,函数的值域为,而函数在上是增函数,,,注意到,则只需,即.◎2.(2010.湖南.理20)已知函数(,),对任意的,恒有.1)证明:当时,;2)若对满足题设条件的任意,,不等式恒成立,求的最小值.典释:1)∵,由对任意的,恒有.对于任意的,不等式恒成立.则D,即,于是.(基本不等式),即,因此,.所以,当时,.故当时,.2)由1)知,.(1)若时,,令(),而在,上是增函数,因此,,

所以,当时,的取值范围是;(2)当时,由1)知,,c=2.或,而,从而恒成立,故的最小值是.◎3.(2008.陕西.理21)已知函数(且,)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是.1)求函数的另一个极点;2)求函数的极大值和极小值,并求时的取值范围.典释:1)函数的定义域是,由于,由于是函数的极点,则是方程的根,得,代回方程,得,解之:或,则另一个极点是;2)由1)知,,且.(1)若时,当时,,当时,.则,,由于恒成立,由于,则.所以,,则,如图13所示.(2)若时,当时,,当时,.所以,,,由于,即.由于,则,解得,,如图14所示。

综上所述实数的取值范围是.图13图14◎4.(2011.江苏.文、理19)已知,是实数,函数,,和分别是和的导函数,若在区间上恒成立,则称和在区间上单调性一致.1)设,若和在区间上单调性一致,求的取值范围;2)设且,若函数和在以,为端点的开区间上单调性一致,求的最大值.典释:因为,.1)由题意知,在区间上恒成立,即,且,则,所以在区间上恒成立,则.故的取值范围是.2)因为,令,得,.若时,则,开区间为,且,而,所以和在区间上的单调性是不一致的,因此.由此可知,在区间上,又当时,,此时;当时,,此时.所以a,,则,且,从而得,,因此,且当,时等号成立。

当时,,所以和在区间上单调性一致.故的最大值为.1.3◎含有对数函数与二次多项式或一次分式函数试题典释经典试题回眸、典释◎5.(2008年.山东.理21)已知函数,其中,为常数.1)当时,求函数的极值;2)当时,证明:对任意的正整数,当时,有.典释:1)当时,,函数定义域是.∵,若时,(),∴在是减函数,故不存在极值.若时,令,得(舍)或,作出的根轴图(见图15),当时,;当时,.故在上是减函数,在上是增函数,当时,函数的极小值是,无极大值.图152)当时,的定义域是.(1)若为正偶数时,,,则,所以在上递减,且,故,即当时。

有.(2)若为正奇数时,,由于,只需证明即可,由不等式,可得,所以,.综上所述,对任意的正整数,当时,有.◎6.(2008.四川.理22)已知是函数的一个极点.1)求的值;2)求函数的单调区间;3)若直线与函数图像有3个交点,求的取值范围.典释:1)因为函数的定义域为,,依题意,是方程的根,则代入即得.2)由1)知,当时,,当时,.故函数的递增区间是:,;递减区间是.3)由2)知,函数的极大值为,极小值为,因此,直线与函数图像有3个交点时,b的取值范围为.◎7.(2010.山东.理22)已知函数().1)当时,讨论的单调性。

2)设,当时,若对任意,存在,使,求实数的取值范围.典释:1)的定义域,.(1)若时,令,得,,且,当时,;当时,.故的递减区间是,递增区间是.(2)若时,,得,当时,;当时,.故的递减区间是,递增区间是.(3)若时,令,得,,且,当时,;当或时,.故的递增区间是,递减区间是和.(4)若时,,故在上是减函数.综上所述,若时,的递减区间是,递增区间是;若时,的递增区间是,递减区间是和;若时,在上是减函数.2)由1)知,当时,在上递减,在上递增,当时,,而.又已知存在,使.(1)若时,,此时不符合.(2)若时,,此时不符合.(3)若时,

解之.故实数的取值范围是.◎8.(2011.天津.理19)已知,函数,.(的图像连续不断)1)求的单调区间;2)当时,证明:存在,使;3)若存在均属于区间的,,且,使,证明:.典释:1),作出的根轴图(如图16所示),当时,;当时,.故的增函数区间为,的减函数区间是.图162)当时,,由1)知,在为增函数,在为减函数.令,则,取,而,即得.又因为的图像在区间上是连续不断的曲线,因此,存在,使得,即存在,使.3)由于和1)的结论知,,从而得在区间的最小值为(或),又因为,则.因此有,即,故得.1.4◎考查函数基本性质和基本图像的演变试题典释经典试题回眸、典释◎9。

(2008年.广东.理19)设,函数,,,试讨论函数F(x)单调性.典释:(1)若时,时,;时,.故当时,在上是减函数;在和上是增函数.(2)若时,当时,;当时,.故当时,在上是减函数;在上是增函数.(3)若时,当时,;当时,.故在和上是减函数;在上是增函数.(a)(b)(c)图17◎10.(2008.海南、宁夏.理21)设函数(,),曲线在点处的切线方程为.1)求的解析式;2)证明:函数的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心;3)证明:曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值,并求出此定值.典释:1),依题意得,∵,∴其整数解为,则()。

2),则,,所以,,因此,函数的图像是关于成中心对称的图形,并且对称中心是.3)设切点为,因为,所以,切线方程为,与和直线交点分别为,,且直线和直线交点为.从而三角形的面积是.所以,所围三角形的面积为定值.◎11.(2010.天津.理21)已知函数().1)求函数的单调区间和极值;2)已知函数的图像与函数的图像关于直线对称,证明当时,;3)如果,且,证明:.典释:1),令,得,当时,,当,.递增区间是,递减区间是,极大值为,无极小值.2)因为函数的图像与函数的图像关于直线对称,所以,令(),,且,因此在上递,且,所以,,即当时,。

3)若,由,得,同在或中,则由1)知,,这与题设不符合,则,不妨设,,由2)知,,则,从而.∵.∴,又由1)知函数在区间是增函数.因此,,即.◎12.(2011.辽宁.理21)已知函数.1)讨论的单调性;2)设,证明:当时,;3)若函数的图像与轴交于A、B两点,线段AB中点的横坐标为,证明:.典释:1)的定义域为,.(1)若时,,所以在上单调增函数.(2)若时,则由=0,得当时,;当时,.所以在上是单调增函数,在上是单调减函数.2)设函数,则,.当时,,且,所以.因此,当时,.3)证明:由1)可得,当时,在上是增函数。

则函数的图像与轴至多有一个交点,则,由于在处有极大(最大)值,.设,,不妨设,则.由2)得,,又因为在上单调减函数,则,于是,由1)知,.11

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