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函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳.docx

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●高考明方向1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.★备考知考情1.对函数奇偶性的考查,主要涉及函数奇偶性的判断,利用奇偶函数图象的特点解决相关问题,利用函数奇偶性求函数值,根据函数奇偶性求参数值等.2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题.3.多以选择题、填空题的形式出现.一、知识梳理《名师一号》P18注意:研究函数奇偶性必须先求函数的定义域知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x。

都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.1000003.奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.知识点二奇函数、偶函数的性质1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.2.若f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.3.若f(x)为偶函数,则f(x)=f(x)=f(|x|).《名师一号》P19问题探究问题1奇函数与偶函数的定义域有什么特点?(1)判断函数的奇偶性。

易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(2)判断函数f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个x,均有f(-x)=-f(x)、f(-x)=f(x),而不能说存在x使f(-x)=-f(x)、f(-x)=f(x).(补充)1、若奇函数f(x)的定义域包含0,则f(0)=0.f(0)=0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件2.判断函数的奇偶性的方法(1)定义法:1)首先要研究函数的定义域,22)其次要考虑f(x)与f(x)的关系,

也可以用定义的等价形式:f(x)f(x)=0(对数型函数用),f(x)f(x)=1(指数型函数用).3)分段函数应分段讨论(2)图象法:利用奇偶函数图象的对称性来判断.(3)复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成,则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定,概括为“同奇为奇,一偶则偶”.注意:证明函数的奇偶性的方法只有定义法知识点三函数的周期性1.周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称非零常数T为这个函数的周期.2.最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期,如常量函数f(x)=a(xR)。

32a2a3.几个重要的推论(1)《名师一号》P19问题探究问题3若函数f(x)恒满足f(x+a)=f(x)(a0),则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期;若函数f(x)恒满足f(x+a)=1f(x)(a0),则f(x)是周期函数,是它的一个周期;若函数f(x)恒满足f(x+a)=1f(x)(a0),则f(x)是周期函数。

是它的一个周期;(补充)若函数f(x)恒满足f(x+a)=f(x+b),则f(x)是周期函数,ab是它的一个周期;(2)(补充)注意区分:若f(ax)=f(a+x)(或f(x)=f(2ax))则函数f(x)关于x=a对称。若f(x)=f(2ax)则函数f(x)关于点(a,0)对称。推广:若函数f(x)恒满足f(a+x)=f(bx)则f(x)图象的对称轴为x=a+b2。

4(3)(补充)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(x)是周期函数,且4a为其中的一个周期若偶函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(x)是周期函数,且2a为其中的一个周期二、例题分析:(一)证明(判断)函数的奇偶性例1.(补充)判断下列函数的奇偶性.2+x(1)f(x)=(2-x).2-xx+2x<-1(2)f(x)=0|x|≤1-x+2x>1.(3)f(x)=11+ax-12(a>。

0且a≠1)解析:2+x(1)由≥0得定义域为[-2,2),关于原点不对称,2-x故f(x)为非奇非偶函数.5axax-12y(2)x<-1时,-x>1,∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).x>1时,-x<-1,f(-x)=-x+2=f(x).-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1,f(-x)=0=f(x).∴对定义域内的每个x都有f(-x)=f(x).因此f(x)是偶函数.(3)∵f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},其定义域关于原点对称,并且有f(-x)=a1111ax1+=+=+-x-12121-ax2-1=-1-ax1-ax-11+=-1+211+1-ax2=-11+=-f(x).即f(-x)=-f(x)。

∴f(x)为奇函数.(4)(补充)函数y=9x2|x+4|+|x3|的图象关于()A.x轴对称B.轴对称C.原点对称D.直线xy=0对称答案:B6注意:(补充)1.如何判断函数奇偶性:第一,求函数定义域,看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称,则该函数为非奇非偶函数.第二,若定义域关于原点对称,函数表达式能化简的,则对函数进行适当的化简,以便于判断,化简时要保持定义域不改变;第三,利用定义进行等价变形判断.第四,分段函数应分段讨论。

要注意据x的范围取相应的函数表达式或利用图象判断.2.分段函数(2)判断奇偶性画图判断更方便直观.(3)验证f(-x)+f(x)=0更方便些.温故知新P13知识辨析2(1)(2)(1)f(x)=log(x+x2+1)2既不是奇函数也不是偶函数()(2)f(x)=(x1)1+x1x是偶函数()答案:(1)奇函数(2)非奇非偶注意:1、关注定义域2、利用函数奇偶性定义的等价形式:7f(x)f(x)=0(对数型函数用),f(x)f(x)=1(指数型函数用)练习:(补充)判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=lg(1x2)x22(2)f(x)=x2+xx2x(x<。

0)(x>0)(3)f(x)=3x2+x23(4)f(x)=x2xa+2(5)f(x)=2x12x+1答案:(1)奇(2)偶(3)既奇又偶(4)a=0偶;a0非奇非偶f(a)f(a)f(a)+f(a)0注意:否定函数奇偶性:只须说明在定义域D中,$xD,使f(x)f(x)000(5)证明:函数f(x)的定义域为R,82x12x且f(x)==12x+12x+1,所以2222f(x)+f(x)=(1)+(1)=2(+)2x+12x+12x+12x+1222x2(2x+1)=2(+)=2=22=02x+12x+12x+1。

即f(x)=f(x),所以f(x)是奇函数.(二)函数奇偶性的应用1、已知函数奇偶性,求值例1.(1)《名师一号》P19对点自测4(2)1已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)=-2.()例1.(2)(补充)已知函数f(x)=lg1x1+x,若f(a)=12,则f(a)等于()A.12B.12C.2D.29)答案:B注意:(补充)(1)一般关于f(a)与f(a)的值或关系的问题首先考虑奇偶性。

(2)已知函数的奇偶性注意利用f(x)与f(x)的关系温故知新P23第3题(2013辽宁)已知函数f(x)=log2(1+9x23x+1,1则f(lg2)+f(lg)=2《名师一号》P19变式思考1(2)f(x)=x2+x+1x2+1,若f(a)=23,则f(a)=练习:(补充)已知f(x)=ax7+bx5+cx3+dx+5,其中a,b,c,d为常数,若f(7)=7。

则f(7)=答案:17102、已知函数奇偶性,求参数的值或取值范围例1.《名师一号》P19对点自测3已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是()A.-1111B.C.D.-3322解析依题意b=0,且2a=-(a-1),11∴b=0且a=,则a+b=.33例2.《名师一号》P20特色专题典例(1)若函数f(x)=k-2x1+k2在定义域上为奇函数,则实数k=.x【规范解答】∴f(-x)+f(x)∵f(-x)=k-2-xk2x-1=。

1+k2-x2x+k=k-2x2x+k+1+k2xk2x-12x+k1+k2x11=k2-122x+11+k2x2x+k.由f(-x)+f(x)=0可得k2=1,∴k=1.注意:本例易忽视函数f(x)的定义域,直接通过计算f(0)=0得k=1.注意:1、利用函数奇偶性的定义:f(x)与f(x)的关系,也可以用定义的等价形式:f(x)f(x)=0(对数型函数用),f(x)f(x)=1(指数型函数用)2、利用特殊值f(a)与f(a)的关系得到关于待求参数的方程(组)求得参数再利用奇偶性的定义证明切记:若奇函数f(x)的定义域包含0。

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