波浪理论课程的习题库建设最新版

2021-06-08 09:39:35本页面

波浪理论课程的习题库建设最新版


【正文】

第一章波浪理论 1.1建立简单波浪理论时,一般作了哪些假设? 【答】:(1)流体是均质和不可压缩的,密度ρ为一常数; (2)流体是无粘性的理想流体; (3)自由水面的压力均匀且为常数; (4)水流运动是无旋的; (5)海底水平且不透水; (6)作用于流体上的质量力仅为重力,表面张力和柯氏力可忽略不计; (7)波浪属于平面运动,即在xz水平面内运动。 1.2试写出波浪运动基本方程和定解条件,并说明其意义。 【答】:波浪运动基本方程是Laplace方程:或写作:。该方程属二元二阶偏微分方程,它有无穷多解。为了求得定解,需有包括初始条件和边界条件的定解条件: 初始条件:因波浪的自由波动是一种有规则的周期性运动。

初始条件可不考虑。 边界条件: (1)在海底表面,水质点垂直速度应为0,即 或写为在z=h处, (2)在波面z=η处,应满足两个边界条件,一是动力边界条件、二是运动边界条件 A、动力边界条件 由于含有对流惯性项,所以该边界条件是非线性的。 B、运动边界条件,在z=η处。该边界条件也是非线性的。 (3)波场上下两端面边界条件 其中c为波速,xct表示波浪沿x正向推进。 1.3试写出微幅波理论的基本方程和定解条件,并说明其意义及求解方法。 【答】:微幅波理论的基本方程为: 定解条件:z=h处, z=0处, z=0处, 求解方法:分离变量法 1.4线性波的势函数为。

证明上式也可写成 【证明】:由弥散方程:以及波动角频率和波数定义:, 可得:,即 由波速的定义:故: 将上式代入波势函数: 得:即证。 1.5由线性波势函数证明水质点的轨迹速度, 并绘出相位=0~2π时的自由表面处的质点轨迹速度变化曲线以及 相位=0,,和2π时质点的轨迹速度沿水深的分布. 解:(1)证明:已知势函数方程 则其中:, . 同理: (2)自由表面时z=0,则, 质点轨迹速度变化曲线见图.1kxst kxst u 图.1 kxst w 相位不同时速度由水深变化关系见下,其中水深z由h到0。 当=0时,曲线见图.2 当=p/2时。

曲线见图.3 当=p时,曲线见图.4 当=3p/2时,曲线见图.5 当=2p时,同图.2 h0 图.2 z u h0 图.3 z w h0 图.4 z u h0 图.5 z w 1.6试根据弥散方程,编制一已知周期函数T和水深h计算波长,波速和波数的程序,并计算T=9s,h分别为25m和15m处的波长和波速。 解:该程序用c++语言编写如下: #include"iostream.h" #include<math.h> constdoublepi=3.1415926,g=9。

8; voidmain() {doublex0,x,L,k,c,h; inti,T; cout<<"pleaseinputTandh\n"<<"T=" cin>>T; cout<<"h=" cin>>h; x0=1.0e8; x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x0)); for(i=1;(fabs(xx0)>1.0e8);i++) {x0=x; x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x0)); } L=2*pi*h/x。

k=2*pi/L; c=L/T; cout<<"L="<<L<<"\n"<<"k="<<k<<"\n"<<"c="<<c<<endl; } 运算可得当T=9s,h=25m时,L=111.941m,c=12.4379m/s 当T=9s,h=15m时,L=95.5096m,c=10.6122m/s 1.7证明只有水深无限深时,水质点运动轨迹才是圆。 【证明】:微幅波波浪水质点运动轨迹方程为: 式中为水平长半轴。

b为垂直短半轴。 在深水的情况下,即h→无穷大, 有:, , 那么,水平长半轴 垂直短半轴 所以当水深无限深时,长半轴a与短半轴b相等,水质点运动轨迹是圆。问题得证。 1.8证明线性波单位水柱体内的平均势能和平均动能为 【证明】:单位水柱体内的平均势能 其中: = 单位水柱体内的平均动能 其中: = 1.9在水深为20m处,波高H=1m,周期T=5s,用线性波理论计算深度z=2m,5m,10m处水质点轨迹直径. 【解法1】:由弥散方程:, 利用题1.6可得L=38.8mk=0.162m1 h/L=20/38.8=0.515>。

0.5为深水波 故此时质点运动轨迹为一直径D为的圆 不同值下的轨迹直径可见下表: Z0 2 5 10 D 0.723 0.445 0.198 【解法2】:将弥散方程可写成 编制Excel计算表格如下,通过变化波长L的值,满足方程=0的L值即为所求波长。 周期T 频率=2PI/T 水深h 波长L 波数k=2PI/L kh tanh(kh) 方程=0? 5 1.2566372 20 10 0.6283 12.5664 1.0000 4.5847 20 0.3142 6.2832 1.0000 1.5027 25 0。

2513 5.0265 0.9999 0.8862 30 0.2094 4.1888 0.9995 0.4745 35 0.1795 3.5904 0.9985 0.1793 38 0.1653 3.3069 0.9973 0.0386 38.5 0.1632 3.2640 0.9971 0.0172 38.91 0.1615 3.2296 0.9969 0.0000 39 0.1611 3.2221 0.9968 0.0037 经试算得L=38。

91m,那么,h/L=20/38.91=0.514>0.5为深水波 后续计算与解法1相同。 1.10在水深为10m处,波高H=1m,周期T=6s,用线性波理论计算深度z=2m、5m、10m处水质点轨迹直径。 解:将弥散方程可写成 编制Excel计算表格如下,通过变化波长L的值,满足方程=0的L值即为所求波长。 周期T 频率=2PI/T 水深h 波长L 波数k=2PI/L kh tanh(kh) 方程=0? 6 1.047197667 10 10 0.6283 6.2832 1.0000 5.0671 20 0.3142 3。

1416 0.9963 1.9738 30 0.2094 2.0944 0.9701 0.8966 40 0.1571 1.5708 0.9172 0.3167 48 0.1309 1.3090 0.8640 0.0129 48.1 0.1306 1.3063 0.8633 0.0097 48.2 0.1304 1.3036 0.8626 0.0065 48.3 0.1301 1.3009 0.8619 0.0033 48。

4 0.1298 1.2982 0.8613 0.0002 48.5 0.1296 1.2955 0.8606 0.0029 经试算得L=48.4m,那么,h/L=10/48.4=0.207<0.5为浅水波 那么,水平长半轴,垂直短半轴b。 以z=2m为例,分别计算: 所以z=2m时的水平向的长轴2a=1.287m;垂直向的短轴2b=1.372m。 不同值下的轨迹直径可见下表: Z0 2 5 10 D 0.723 0.445 0.198 1.11在某水深处的海底设置压力式波高仪,测得周期T=5s,最大压力pmax=85250N/m2(包括静水压力。

但不包括大气压力),最小压力pmin=76250N/m2,问当地水深波高值. 解:分析压力公式pz =0时压力最小,即:pmin=76250N/m2(1) =1时压力最大, 即:pmax=85250N/m2(2) 由(1)式可得z=-7.8m故h=-z=7.8m 由弥散方程:,T=5s,h=7.8m 利用题1.6可得L=36.6mkh=0.181*7.8=1.412 代入(2)式可得H=4.0m. 1.12若波浪由深水正向传到岸边,深水波高H0=2m,周期T=10s,问传到1km长的海岸上的波浪能量(以功率计)有多少?设波浪在传播中不损失能量。 解:通过1km(单宽)波峰线长度的平均能量传输率。

即波能流P,假设波浪在传播中不损失能量时,浅水区等于深水区,即Ps=P0,有: (Ecn)0=(Ecn)s 因深水时sinh(2kh)>>2kh,则上式左边= 浅水时sinh(2kh)≈2kh,则上式右边= 那么,Ps=(Ecn)s= =(Ecn)0== ==38310.55(N/s) 1.13在水深为5m处,波高H=1m,周期T=8s,试绘出斯托克斯波与线性波的波剖面曲线及近底水质点速度变化曲线并比较之. 解:由弥散方程:,,T=9s,h=5m 利用题1.6可得L=53.05mkh=0.59 线性波波面方程 斯托克斯波面方程图1斯托克斯波与线性波波面曲线比较 0。

7 0.5 0.3 0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0 1 2 3 4 5 6 kxst h 线形波 斯托克斯波 线性波近底水质点速度 斯托克斯波近底水质点速度 图2斯托克斯波与线性波水平质点速度 0.7 0.5 0.3 0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0 1 2 3 4 5 6 kxst u 线形波 斯托克斯波 由图1可看到斯托克斯波与线性波有较大差别,在波峰处斯托克斯波比线性波抬高了,变为尖陡,波谷处斯托克斯波比线性波也抬高了,因而变的平坦,波峰波谷不在对称于静水平面。 由图2可看到斯托克斯波的速度在一周期内不对称。

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